使用Dijkstra/Floyd算法解決最短路徑問題

一，最短路徑問題抽象

典型用途： 交通網絡問題（從甲地到乙地是否有公路連通？哪一條路是最短的？）

交通網絡用有向網來表示：

• 頂點 — 表示地點；
• 弧 — 表示兩個地點之間有路連通；
• 弧上的權值 — 表示兩地之間的距離、交通費或途中所花費的時間等。

如何能夠使運輸時間最短或運費最少？這就是一個求兩個地點間的最短路徑問題。

問題抽象： 在有向網中 A 點（源點）到達 B 點（終點）的多條路徑中，尋找一條各邊權值之和最小的路徑，即最短路徑。

！！！注意！！！

最短路徑與最小生成樹不同，
路徑上不一定包含 n 個頂點，
也不一定包含 n-1 條邊。

1.1 單源（兩點之間）最短路徑 - Dijkstra算法

視頻講解：6.6.2最短路徑2–Dijkstra算法
ps：有時間的話建議看一下上邊的視頻講解。

單源最短路徑（Single-Source Shortest Paths） — 使用 Dijkstra（地傑斯特拉）算法


步驟總結：

• 選擇起始點，分別記錄該點到所有與其鄰接的（直達）頂點的距離，並選擇距離最短段的頂點作爲轉接點，即爲 v_j；
• 將 v_j 加入路徑，並記錄加入該點後可以到達的頂點和距離，並選出最短距離，並記錄到達的點爲下一個轉接點；
• 重複上述操作，直至訪問過所有的頂點。

1.2 某源點到其他各點的最短路徑 - Floyd算法

視頻參考：6.6.2最短路徑3–Floyd算法

所有頂點間的最短路徑

• 方法1：依次以所有頂點爲源點，重複執行 Dijkstra算法 n 次；
• 方法2：使用 Floyd（弗洛伊德）算法。

Floyd（弗洛伊德）算法思想

• 逐個頂點試探；
• 從 v_i 到 v_j 的所有可能存在的路徑中；
• 選出一條長度最短的路徑。

例，採用Floyd算法，求圖中各項頂點之間最短路徑