抽象代數 04.02 羣在集合上的作用

http://www.icourses.cn 南開大學《抽象代數》

${\color{blue}\text{\S 4.2 羣在集合上的作用}}$

$問題4.2.1.羣的分類和實現(抽象\to 具體):羣同態(有時同構不如同態,如:1:1的地圖)$
$\qquad \pi : G \to S_X$
$\qquad \pi(xy) = \pi(x) \pi(y)$
$例4.2.2.$
$1)(\mathbf{Cayley}定理):G \cong L_G \cong R_G$
$2)(內自同構) \mathrm{ad}:G \to \mathrm{Int}(G),\mathrm{adg} = L_gR_{g^{-1}}$
$3)\pi ： G \to S_X, \pi(g) = \mathrm{id}_X$
$問題4.2.3 如何建立羣同態？$
${\color{blue}定義4.2.4.}設G是一個羣，X是一個非空集合。若映射$
$\qquad f:G \times X \to X, (g, x) \to f(g, x)$
$滿足對任何x \in X, g_1, g_2 \in G都有$
$\qquad f(1, x) = x,$
$\qquad f(g_1g_2, x) = f(g_1, f(g_2, x)),$
$則稱f決定了G在X上的一個{\color{blue}作用}.$
$例4.2.5\quad 1)左平移作用; 2)右平移作用; 3)伴隨作用$
${\color{blue}定義4.2.6.可遞作用,齊性空間,有效作用，平凡作用}$
${\color{blue}命題4.2.7.}G在X上的作用是有效的，當且僅當對應的羣同態是單射。$
$例4.2.8. GL(n, \mathbb{R}), SO(n)作用在\R^n上。$
$SO(n)作用在S^{n-1}上$
$S_n作用在n元多項式環上$
$GL(n,\R)在\R^{n \times n}的左乘、右乘、相似、合同$
$問題4.2.9.相抵是不是羣作用?$
${\color{blue}定義4.2.10.\quad 限制作用:}H < G,G在X上的作用可以自然得到H在X上的作用。$
$問題4.2.11.對什麼樣子的子集X_1 \subset X使得G在X上的作用可以限制爲G在X_1上的作用？$
$問題4.2.12.對什麼樣子的子集X_1 \subset X使得G在X_1上的作用可以限制爲G在X上的作用？$
$X_1滿足的充要條件是對任意g \in G有gX_1 \subset X_1。類似於線性變換中的不變子空間的研究:最小的這樣子的子集是什麼樣的？X是否是這樣的子集的不交併(直和？)?$
${\color{blue}定義4.2.13.\quad}設羣G作用在集合X上，x \in X.稱X的子集O_x = \lbrace gx | g \in G \rbrace 爲x的{\color{blue}軌道}。(人造衛星的軌道)$
$例4.2.14.1)S_n作用在\mathbb{P}[x_1,\cdots,x_n]上的單點軌道$
$2)SO(2)在S^2上旋轉作用的軌道$
$3)GL(n, \R)在\R^n上的作用的軌道$
$4)SO(n)作用在\R^n上的軌道$
$5)GL(n,\mathbb{C})在\mathbb{C}^{n \times n}上的相似作用的軌道$
$6)GL(n,\R)在對稱矩陣全體的合同作用下的軌道$
$7)仿射變換$
${\color{blue}命題4.2.15.}1)設x,y \in X。則O_x \cap O_y = \empty或者O_x = O_y.進一步,X是所有不相同的$
$軌道的不交併，或者說所有不相同的軌道構成X的一個劃分。可以在X上定義等$
$價關係。$
$2)G在X上的作用自然可以限制爲G在O_x上的作用，該作用可遞。因此，G在X的$
$作用可遞當且僅當X中只有一個軌道。$
$3)G在O_x上的作用有效的充要條件？$
$我們先考慮G在X上的作用是可遞的情況，即X本身就是一個軌道。因此，對任意$
$x \in X,X = O_x.固定x \in X,我們有如下映射$
$\qquad \varphi_x:G \to X, \varphi_x(g) = gx.$
$這實際上就是作用G \times X \to X固定第二個變量得到的。自然的，\varphi_x(1) = x.$
$顯然,映射\varphi_x是滿射，每個gx \in O_x的原象是什麼？$
${\color{green}A:}\varphi_x^{-1}(x)= \lbrace h \in G | hx = x \rbrace.這個集合是G的子羣，記爲F_x,稱爲x的{\color{blue}迷向子羣}.$
$例4.2.16(迷向子羣).$
$1. S_n作用在\lbrace 1, 2, \cdots, n \rbrace上的迷向子羣。$
$2. SO(n)作用在S^{n-1}上可遞，點(1, 0, \cdots, 0)的迷向子羣\mathrm{diag}(1, SO(n-1)).$
$3. GL(n,\R)作用在\R^n \setminus \lbrace 0 \rbrace 上的迷向子羣。$
${\color{green}B:}\varphi_x^{-1}(gx) = \lbrace h \in G | hx = gx \rbrace = \lbrace h \in G | g^{-1}hx = x \rbrace = \lbrace h \in G | g^{-1}h \in F_x \rbrace = \lbrace h \in G | h \in gF_x \rbrace = gF_x。即,gx的原像是F_x的左陪集gF_x.$
$這樣，我們得到一個雙射\varphi:G/F_x \to O_x。於是，這兩個集合存在一一對應。$
$而兩者上都有G的作用。這樣我們得到交換圖$
${\color{blue}定義4.2.17.}設羣G作用在集合X與X^{\prime}上，若有X到X^{\prime}的一一對應\varphi使得$
$\qquad g(\varphi(x)) = \varphi(g(x)),\forall g \in G, x \in X,$
$則稱G在X與X^{\prime}上的{\color{blue}作用等價}。$
例4.2.18.線性空間同構不僅是集合之間的一一對應，還需要保持加法和數乘;同樣作用之間的等價也需要保持集合上的結構–羣作用。
${\color{blue}定理4.2.19.}設羣G在X上的作用可遞，x \in X。則G在X上的作用與G在G/F_x上$
$的左平移作用等價。$
${\color{blue}推論4.2.20.}O_x= |G/F_x| = [G:F_x].從而|O_x| {\color{green}|} |G|.$
$例4.2.21(等價的作用).G在G上的左平移作用和右平移作用等價。$
$例4.2.22.G在G上的伴隨作用:\mathrm{ad}G: \to S_G, g \to \mathrm{ad} g.$
${\color{blue}定義4.2.23.}設G是一個羣,g \in G.在伴隨作用下g的軌道稱爲以g爲代表的{\color{blue}共軛類},記作G_g。g的迷向子羣稱爲g在$
$G中的{\color{blue}中心化子},記作C_G(g)或C(g).稱\mathrm{Ker} \; \mathrm{ad}爲{\color{blue}中心},記作C(G).$
${\color{blue}定理4.2.24.}1)C(G)是G的正規子羣，且\mathrm{ad} \; G與G/C(G)同構。$
$2)G的共軛類的集合是G的一個劃分。$
$3)若G是一個有限羣,g \in G,則|C_g| = [G: C(g)],是|G|的因子。$
$4)h \in C(G)當且僅當|C_h = 1|,當且僅當 h \in \cap_{g \in G}C(g).$
$5)(軌道公式)設x_1,\cdots, x_n是有限羣G的所有共軛類的代表元,則|G| = \sum_n|G|/|C(x_i)|.$
$例4.2.5.試求S_n的共軛類.$