羣的定義和簡單性質
定義，如果一個非空集合G上定義了一個二元運算o，滿足：
1）結合律，推廣（廣義結合律：對於任意有限多個元素....）
2）存在幺元（單位元）
3）存在逆元
4）交換律（滿足的話，稱G爲交換羣或Abel羣）
半羣——非空集合S有二元運算，此運算滿足結合律
幺半羣——具有幺元的半羣
命題：
1）羣的幺元唯一
2）羣中任一元素的逆元唯一
3）羣中有消去律（左消去律和右消去律）
羣所含的元素個數稱爲羣的階，羣G的階記爲lGl,lGl小於無限爲有限羣，反之無限羣
設M是一個非空集合，M到自身的雙射的全體對於映射的乘法（即複合）構成一個羣，叫做M的全變換羣，記爲S（M）
對稱羣和交錯羣
設M是含有n個元素的集合，M的全變換羣S（M）稱爲n級對稱羣，記爲Sn。
我們可以假定M={1，2,...,n}，Sn的元素稱爲n元置換
σ=（1 2 ... n )
(σ1 σ2 ... σn)
σ(i1)=i2,σ(i2)=i3,....,σ(it）=i1，且i1，i2,...it之外的元素在σ下都保持不變，則稱σ爲i1，i2,...it的輪換，t=2時稱爲對換
命題：對稱羣Sn中任一不等於幺元的元素都可以唯一地分解爲不相交的輪換的乘積。（不計順序）
推論：任一置換可以分解爲對換的乘積
命題：任一給定的置換分解爲對換的乘積時出現的對換個數的奇偶性不變
（標出每個數右面比它小的數的個數,它們的和就是逆序數）
（由行列式理論，每一個對換都使得{1，2，...，n}的任一排列的逆序數改變一個奇數）
奇置換——置換等於偶數個對換的乘積
偶置換——置換等於奇數個對換的乘積
n級交錯羣——有限集合偶置換
子羣、陪集、Lagrange定理
子羣：
定義：設H爲羣G的非空子集。如果H在G的運算下構成羣，則稱H爲G的子羣，記作H《=G。
命題：設G是羣，H屬於G，H不等於空集，則下列命題等價：
1）H小於等於G
2）對任意的a，b屬於H，恆有ab屬於H和a^-1屬於H
3）對任意的a，b屬於H，恆有ab^-1屬於H（或a^-1*b屬於H）
命題:設G是羣，H屬於G，H不等於空集，下列等價
1）H小於等於G
2）H^2屬於H且H^-1屬於H
3）HH^-1屬於H或（H^-1*H屬於H）
平凡子羣,任何羣都有兩個子羣G本身和{e}，子羣{e}叫做G的平凡子羣
真子羣，H不等於G，則稱H爲G的真子羣
定義：設G爲羣，M屬於G且非空，稱G的所有包含M的子羣的交爲由M生成的子羣，記作<M>
<M>={e,a1a2...an l ai屬於M並M^-1,n=1,2,,,}.
如果<M>=G，我們稱M爲G的一個生成系，或稱G由M生成
僅由一個元素a生成的羣<a>叫做循環羣
在羣{<0°，60°，120°，180°，240°，300°>，*}中，60°即爲該羣的生成元。
由有限多個元素生成的羣叫做有限生成羣
羣中任意元素a，我們稱<a>的階爲元素a的階，記作o(a)
o(a)是滿足a^n=e的最小正整數n
羣中所有元素的階的最小公倍數叫做羣的方次數，記作exp（G）
陪集：
a~l~b 定義爲：存在h屬於H，使得a=b*h
1）反身性
2）對稱性
3）傳遞性
定義：設H小於等於G，a屬於G，稱aH（Ha）的子集爲H的一個左（右）陪集
H的左陪集的個數（不一定有限），稱爲H在G中的指數，記爲 l G:H l
H在G中的左、右陪集個數相等，都是 l G:H l
Lagrange定理：設G是有限羣，H小於等於G，則 l G l = l G:H l * l H l
推論：有限羣G的任一元素a的階o（a）整除G的階；於是a^lGl=e.
正規子羣與商羣
命題：設G是羣，H小於等於G，則H的任意兩個左陪集的乘積仍是左陪集的充分必要條件是：aH=Ha （任意a屬於G）
正規子羣：
設G是羣，H小於等於G，如果aH=Ha（任意a屬於G），則稱H爲G的正規子羣
任何羣G本身和平凡子羣{e}都是正規子羣，如果除此之外，羣G沒有其他的正規子羣，則被稱爲單羣
命題：設G是羣，H小於等於G，則以下三條等價
1）H是G的正規子羣
2）a^-1*H*a=H（任意a屬於G）
3)a^-1*h*a屬於H（任意h屬於H，a屬於G）
命題：設G是羣，H是G的正規子羣，則H的陪集在乘法下構成羣，稱G關於H的商羣，記爲G/H
陪集乘法封閉——結合律，幺元，逆元，所有的Abel羣的子羣都是正規子羣。
同態與同構，同態基本定理，正則表示
線性映射，引入同態
設G和G1是羣，映射P：G到G1，稱爲由G到G1的一個羣同態
如果P保持羣運算（P（ab）=P（a）P（b））
且P又是單（滿）射，P爲單（滿）同態
既單又滿的同態，稱爲同構
羣G到自身的同態及同構，我們稱之爲羣G的自同態和自同構
End（G）：G的全體自同態組成的集合
Aut（G）：G的全體自同構組成的集合
P（G）稱爲 P 的像，記爲imP
e1的原像稱爲P的核，記爲kerP，即 ker P={a屬於G l P（a）= e1 }
命題，設P：G到G1是羣同態，則P單等價於ker P={e}
命題，設G到G1是羣同態，則 im P《=G1，ker P是G的正規子羣
定理（同態基本定理），設P：G到G1是羣同態，則 G/ker P同構於im P
推論，設P：G到G1是羣的滿同態，則G/ker P 同構於G1
引入：定義L（a）：（G到G）g對應ag——稱之爲由a引起的左平移
定理，任一羣都同構於某一集合上的變換羣
定義，上述L（G）稱作羣G的左正則表示，右同理
羣的同構定理
典範同態
設G是羣，H是G的正規子羣，由商羣中運算的定義立見
π：G到G/H
a對應aH
是羣同態。這種同態稱爲G到G/H的典範同態
定理（第一同構定理），設G是羣，H是G的正規子羣，則在典範同態
π：G到G/H
a對應aH 下
1）G的包含H的子羣與G/H的子羣在π下一一對應
2）在此對應下，正規子羣對應於正規子羣
3）若有K是G的正規子羣，且H屬於K，則
G/H 同構於 （G/H）/（K/H）
定理（第二同構定理），設G是羣，H是G的正規子羣，K<=G,則
1）HK<=G,H交K是K的正規子羣；
2）（HK）/H 同構於 K/(H交K).
羣的直和羣直積
從已知的一些羣出發可以構造新的羣，其中最簡單的途徑就是直與直積的構造
直和
定義，設G1，G2是羣，(a1，b1)，（a2，b2）屬於 G1×G2，定義
(a1，b1)（a2，b2）=（a1 a2，b1 b2），則 G1×G2在此運算下構成羣，稱爲G1與G2的（外）直和，
記爲G1⊕G2。G1和G2稱爲G1⊕G2的直和因子
定義，G1'={（a，e2）l a屬於G1}，G2'={（e1，b）l b屬於G2}，
其中e1和e2分別爲G1和G2的幺元
顯然，有G1同構於G1‘
G1⊕G2=G1’G2'
G1‘和G2'都是G1⊕G2的正規子羣
命題，設G是羣，H，K都是G的正規子集，G=HK，則下述四條等價
1）映射
p：H⊕K到G，
（h，k）到hk
是同構；
2）G的任一元素表爲H與K的元素的乘積的表示法唯一；
3）G的幺元表爲H與K的元素的乘積的表示法唯一；
4）H交K={e}.
如果羣G和它的兩個子羣H與K滿足上述命題，則稱G是H與K的（內）直和，也記爲G=H⊕K。
上述概念可推廣到多個羣——引入直積
直積：——區別在於有限集和無限集
令G= ∏Gi. Gii( i 屬於I—指標集)稱爲G的直積因子.
