抽象代数 04.02 群在集合上的作用

http://www.icourses.cn 南开大学《抽象代数》

${\color{blue}\text{\S 4.2 群在集合上的作用}}$

$问题4.2.1.群的分类和实现(抽象\to 具体):群同态(有时同构不如同态,如:1:1的地图)$
$\qquad \pi : G \to S_X$
$\qquad \pi(xy) = \pi(x) \pi(y)$
$例4.2.2.$
$1)(\mathbf{Cayley}定理):G \cong L_G \cong R_G$
$2)(内自同构) \mathrm{ad}:G \to \mathrm{Int}(G),\mathrm{adg} = L_gR_{g^{-1}}$
$3)\pi ： G \to S_X, \pi(g) = \mathrm{id}_X$
$问题4.2.3 如何建立群同态？$
${\color{blue}定义4.2.4.}设G是一个群，X是一个非空集合。若映射$
$\qquad f:G \times X \to X, (g, x) \to f(g, x)$
$满足对任何x \in X, g_1, g_2 \in G都有$
$\qquad f(1, x) = x,$
$\qquad f(g_1g_2, x) = f(g_1, f(g_2, x)),$
$则称f决定了G在X上的一个{\color{blue}作用}.$
$例4.2.5\quad 1)左平移作用; 2)右平移作用; 3)伴随作用$
${\color{blue}定义4.2.6.可递作用,齐性空间,有效作用，平凡作用}$
${\color{blue}命题4.2.7.}G在X上的作用是有效的，当且仅当对应的群同态是单射。$
$例4.2.8. GL(n, \mathbb{R}), SO(n)作用在\R^n上。$
$SO(n)作用在S^{n-1}上$
$S_n作用在n元多项式环上$
$GL(n,\R)在\R^{n \times n}的左乘、右乘、相似、合同$
$问题4.2.9.相抵是不是群作用?$
${\color{blue}定义4.2.10.\quad 限制作用:}H < G,G在X上的作用可以自然得到H在X上的作用。$
$问题4.2.11.对什么样子的子集X_1 \subset X使得G在X上的作用可以限制为G在X_1上的作用？$
$问题4.2.12.对什么样子的子集X_1 \subset X使得G在X_1上的作用可以限制为G在X上的作用？$
$X_1满足的充要条件是对任意g \in G有gX_1 \subset X_1。类似于线性变换中的不变子空间的研究:最小的这样子的子集是什么样的？X是否是这样的子集的不交并(直和？)?$
${\color{blue}定义4.2.13.\quad}设群G作用在集合X上，x \in X.称X的子集O_x = \lbrace gx | g \in G \rbrace 为x的{\color{blue}轨道}。(人造卫星的轨道)$
$例4.2.14.1)S_n作用在\mathbb{P}[x_1,\cdots,x_n]上的单点轨道$
$2)SO(2)在S^2上旋转作用的轨道$
$3)GL(n, \R)在\R^n上的作用的轨道$
$4)SO(n)作用在\R^n上的轨道$
$5)GL(n,\mathbb{C})在\mathbb{C}^{n \times n}上的相似作用的轨道$
$6)GL(n,\R)在对称矩阵全体的合同作用下的轨道$
$7)仿射变换$
${\color{blue}命题4.2.15.}1)设x,y \in X。则O_x \cap O_y = \empty或者O_x = O_y.进一步,X是所有不相同的$
$轨道的不交并，或者说所有不相同的轨道构成X的一个划分。可以在X上定义等$
$价关系。$
$2)G在X上的作用自然可以限制为G在O_x上的作用，该作用可递。因此，G在X的$
$作用可递当且仅当X中只有一个轨道。$
$3)G在O_x上的作用有效的充要条件？$
$我们先考虑G在X上的作用是可递的情况，即X本身就是一个轨道。因此，对任意$
$x \in X,X = O_x.固定x \in X,我们有如下映射$
$\qquad \varphi_x:G \to X, \varphi_x(g) = gx.$
$这实际上就是作用G \times X \to X固定第二个变量得到的。自然的，\varphi_x(1) = x.$
$显然,映射\varphi_x是满射，每个gx \in O_x的原象是什么？$
${\color{green}A:}\varphi_x^{-1}(x)= \lbrace h \in G | hx = x \rbrace.这个集合是G的子群，记为F_x,称为x的{\color{blue}迷向子群}.$
$例4.2.16(迷向子群).$
$1. S_n作用在\lbrace 1, 2, \cdots, n \rbrace上的迷向子群。$
$2. SO(n)作用在S^{n-1}上可递，点(1, 0, \cdots, 0)的迷向子群\mathrm{diag}(1, SO(n-1)).$
$3. GL(n,\R)作用在\R^n \setminus \lbrace 0 \rbrace 上的迷向子群。$
${\color{green}B:}\varphi_x^{-1}(gx) = \lbrace h \in G | hx = gx \rbrace = \lbrace h \in G | g^{-1}hx = x \rbrace = \lbrace h \in G | g^{-1}h \in F_x \rbrace = \lbrace h \in G | h \in gF_x \rbrace = gF_x。即,gx的原像是F_x的左陪集gF_x.$
$这样，我们得到一个双射\varphi:G/F_x \to O_x。于是，这两个集合存在一一对应。$
$而两者上都有G的作用。这样我们得到交换图$
${\color{blue}定义4.2.17.}设群G作用在集合X与X^{\prime}上，若有X到X^{\prime}的一一对应\varphi使得$
$\qquad g(\varphi(x)) = \varphi(g(x)),\forall g \in G, x \in X,$
$则称G在X与X^{\prime}上的{\color{blue}作用等价}。$
例4.2.18.线性空间同构不仅是集合之间的一一对应，还需要保持加法和数乘;同样作用之间的等价也需要保持集合上的结构–群作用。
${\color{blue}定理4.2.19.}设群G在X上的作用可递，x \in X。则G在X上的作用与G在G/F_x上$
$的左平移作用等价。$
${\color{blue}推论4.2.20.}O_x= |G/F_x| = [G:F_x].从而|O_x| {\color{green}|} |G|.$
$例4.2.21(等价的作用).G在G上的左平移作用和右平移作用等价。$
$例4.2.22.G在G上的伴随作用:\mathrm{ad}G: \to S_G, g \to \mathrm{ad} g.$
${\color{blue}定义4.2.23.}设G是一个群,g \in G.在伴随作用下g的轨道称为以g为代表的{\color{blue}共轭类},记作G_g。g的迷向子群称为g在$
$G中的{\color{blue}中心化子},记作C_G(g)或C(g).称\mathrm{Ker} \; \mathrm{ad}为{\color{blue}中心},记作C(G).$
${\color{blue}定理4.2.24.}1)C(G)是G的正规子群，且\mathrm{ad} \; G与G/C(G)同构。$
$2)G的共轭类的集合是G的一个划分。$
$3)若G是一个有限群,g \in G,则|C_g| = [G: C(g)],是|G|的因子。$
$4)h \in C(G)当且仅当|C_h = 1|,当且仅当 h \in \cap_{g \in G}C(g).$
$5)(轨道公式)设x_1,\cdots, x_n是有限群G的所有共轭类的代表元,则|G| = \sum_n|G|/|C(x_i)|.$
$例4.2.5.试求S_n的共轭类.$