洛谷---P1006 傳紙條---三維DP

題目描述

小淵和小軒是好朋友也是同班同學，他們在一起總有談不完的話題。一次素質拓展活動中，班上同學安排做成一個 $m$ 行 $n$ 列的矩陣，而小淵和小軒被安排在矩陣對角線的兩端，因此，他們就無法直接交談了。幸運的是，他們可以通過傳紙條來進行交流。紙條要經由許多同學傳到對方手裏，小淵坐在矩陣的左上角，座標 $(1,1)$，小軒坐在矩陣的右下角，座標 $(m,n)$。從小淵傳到小軒的紙條只可以向下或者向右傳遞，從小軒傳給小淵的紙條只可以向上或者向左傳遞。

在活動進行中，小淵希望給小軒傳遞一張紙條，同時希望小軒給他回覆。班裏每個同學都可以幫他們傳遞，但只會幫他們一次，也就是說如果此人在小淵遞給小軒紙條的時候幫忙，那麼在小軒遞給小淵的時候就不會再幫忙。反之亦然。

還有一件事情需要注意，全班每個同學願意幫忙的好感度有高有低（注意：小淵和小軒的好心程度沒有定義，輸入時用 $0$ 表示），可以用一個 $[0,100]$ 內的自然數來表示，數越大表示越好心。小淵和小軒希望儘可能找好心程度高的同學來幫忙傳紙條，即找到來回兩條傳遞路徑，使得這兩條路徑上同學的好心程度之和最大。現在，請你幫助小淵和小軒找到這樣的兩條路徑。

輸入格式

第一行有兩個用空格隔開的整數 $m$ 和 $n$，表示班裏有 $m$ 行 $n$ 列。

接下來的 $m$ 行是一個 $m\times n$ 的矩陣，矩陣中第 $i$ 行 $j$ 列的整數表示坐在第 $i$ 行 $j$ 列的學生的好心程度。每行的 $n$ 個整數之間用空格隔開。

輸出格式

輸出文件共一行一個整數，表示來回兩條路上參與傳遞紙條的學生的好心程度之和的最大值。

輸入輸出樣例

輸入 #1 複製

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

輸出 #1 複製

34

說明/提示

【限制】

對於 $30\%$ 的數據，$1\le m,n\le 10$； 對於 $100\%$ 的數據滿足：$1\le m,n\le 50$

NOIP 2008提高組第三題

思路

  就是四維DP的進階版，因爲四維dp[i][j][k][l] 中的 i + j = k + l = 走的次數 + 2(開始座標是（1， 1）)，所以dp[sum][i][k] 中的sum可以求出 j 和 l

實現代碼

#include<iostream>
#define RI register int
using namespace std;


const int maxn = 51;

int a[maxn][maxn], dp[maxn << 1][maxn][maxn];

inline int max(int a, int b, int c, int d) {
	int max1 = a > b ? a : b, max2 = c > d ? c :d;
	return max1 > max2 ? max1 : max2;
}

int main() { 
	int n, m, ans = 0;
	cin >> n >> m;
	for (RI i = 1; i <= n; i++) for (RI j = 1; j <= m; j++) cin >> a[i][j];
	dp[2][1][1] = 0;
	for (RI sum = 3; sum <= n + m; sum++) {
		for (RI i = 1; i < sum; i++) {
			for (RI j = 1; j < sum; j++) {
				dp[sum][i][j] = max(dp[sum - 1][i][j], dp[sum - 1][i - 1][j], dp[sum - 1][i][j - 1], dp[sum - 1][i - 1][j - 1]);
				if (i == j) dp[sum][i][j] += a[i][sum - i];
				else dp[sum][i][j] += a[i][sum - i] + a[j][sum - j];
			}
		}
	}
	cout << dp[n + m][n][n];
	return 0;
}