洛谷---P1006 传纸条---三维DP

题目描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，座标 $(1,1)$，小轩坐在矩阵的右下角，座标 $(m,n)$。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 $0$ 表示），可以用一个 $[0,100]$ 内的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入格式

第一行有两个用空格隔开的整数 $m$ 和 $n$，表示班里有 $m$ 行 $n$ 列。

接下来的 $m$ 行是一个 $m\times n$ 的矩阵，矩阵中第 $i$ 行 $j$ 列的整数表示坐在第 $i$ 行 $j$ 列的学生的好心程度。每行的 $n$ 个整数之间用空格隔开。

输出格式

输出文件共一行一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

输入输出样例

输入 #1 复制

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

输出 #1 复制

34

说明/提示

【限制】

对于 $30\%$ 的数据，$1\le m,n\le 10$； 对于 $100\%$ 的数据满足：$1\le m,n\le 50$

NOIP 2008提高组第三题

思路

  就是四维DP的进阶版，因为四维dp[i][j][k][l] 中的 i + j = k + l = 走的次数 + 2(开始座标是（1， 1）)，所以dp[sum][i][k] 中的sum可以求出 j 和 l

实现代码

#include<iostream>
#define RI register int
using namespace std;


const int maxn = 51;

int a[maxn][maxn], dp[maxn << 1][maxn][maxn];

inline int max(int a, int b, int c, int d) {
	int max1 = a > b ? a : b, max2 = c > d ? c :d;
	return max1 > max2 ? max1 : max2;
}

int main() { 
	int n, m, ans = 0;
	cin >> n >> m;
	for (RI i = 1; i <= n; i++) for (RI j = 1; j <= m; j++) cin >> a[i][j];
	dp[2][1][1] = 0;
	for (RI sum = 3; sum <= n + m; sum++) {
		for (RI i = 1; i < sum; i++) {
			for (RI j = 1; j < sum; j++) {
				dp[sum][i][j] = max(dp[sum - 1][i][j], dp[sum - 1][i - 1][j], dp[sum - 1][i][j - 1], dp[sum - 1][i - 1][j - 1]);
				if (i == j) dp[sum][i][j] += a[i][sum - i];
				else dp[sum][i][j] += a[i][sum - i] + a[j][sum - j];
			}
		}
	}
	cout << dp[n + m][n][n];
	return 0;
}