高等幾何——討論交比的實際意義

1 寫在前面的話：

    實際上可以看到，射影幾何的解釋，和高中的向量幾何有許多相似之處，他們可能不是建立在直角座標系上而是選擇自己方便的兩個向量來解決問題。但另外地，它引入了齊次座標系。這至少起到了兩個作用：

（1）可以表示無窮遠點和無窮遠直線，建立的射影平面中，通常點和無窮遠點地位相等，通常直線和無窮遠直線地位相等

（2）這使得點和直線地位相等，相互對偶，由此產生一系列的對偶原則，最經典地，點列和線束，點場和線場。另外，構成的一些基本形組成複雜的幾何問題，這使得我們從另一個角度看待中學的幾何（不包括解析幾何），實在是簡單至極。

2 定義：

交比（cross ratio）

射影幾何學中基本的射影不變量之一。一般是用共線的四個點來定義的，亦稱之爲調和比。早在古希臘，數學家和天文學家就注意到這一比值的特性。
3 簡介：

交比（cross ratio）

射影幾何學中基本的射影不變量之一。一般是用共線的四個點來定義的，亦稱之爲調和比。早在古希臘，數學家和天文學家就注意到這一比值的特性。約公元100年，門內勞斯在《球面學》中用到了球面上的大圓弧相交的一個性質，類似於截線的交比不變性，用圓弧所對角的正弦比值來表示。公元4世紀，帕波斯在《數學彙編》中明確闡述了一種交比的性質：設有四條線交於一點，則從一條線上的一點出發的截線所截點之間的交比相等。到19世紀，施泰納、施陶特等數學家已將交比作爲他們的射影幾何理論的基本工具，證明了四個共線點的交比在射影變換下不變的特性。
4 定義詳解：

（1）點列交比
點列交比的公理化定義，共線四點A,B,C,D的齊次座標分別爲a,b,a+xb,a+yb,(A≠B),記（AB|CD）表示這四點構成的交比。定義爲，（AB|CD）=x/y.點偶AB叫做基點對，點偶CD叫做分點對。

若四點齊次座標分別爲a+x1b,a+x2b,a+x3b,a+x4b,可以證明，(AB|CD)=[(x1-x3)(x2-x4)]/[(x2-x3)(x1-x4)]。其初等幾何意義爲（AB|CD）=(AC*BD)/(BC*AD),注意右邊的線段長度是有向的。
（2）線束交比：

類比點列交比的定義，我們可以自然的引入線束交比的定義。共點四線a,b,c,d,的齊次座標爲a,b,a+xb,a+yb，(a≠b).記（ab|cd）表示這四線構成的交比。定義爲，(ab|cd)=x/y.同樣的，我們有：若四線齊次座標分別爲a+x1b,a+x2b,a+x3b,a+x4b,可以證明，(ab|cd)=[(x1-x3)(x2-x4)]/[(x2-x3)(x1-x4)]（1）。引入線束交比的初等幾何意義，我們可以從我們熟知的直角座標系入手。設pi（i=1,，2，3，4）爲一線束，記其斜率爲ki,傾角爲ai,有（1）式可得，（p1p2|p3p4）=[(k1-k3)(k2-k4)]/[(k2-k3)(k1-k4)]=[(tana1-tana3)(tana2-tana4)]/[(tana2-tana3)(tana1-tana4)]=[sin(a3-a1)*sin(a4-a2)][sin(a3-a2)*sin(a4-a1)]=[sin(p1p3)sin(p2p4)]/[sin(p2p3)sin(p1p4)].注：(p1p2)表示p1到p2的角，是有向的。
5 交比重要性質

   交比是射影不變量。

證明（初等幾何的證明）：令線束O(a,b,c,d)分別交l於ABCD。(AC*BD)/(BC*AD)=(S△OAC*S△OBD)/(S△OBC*S△OBD)=[sin(ac)*sin(bd)]/[sin(bc)*sin(ad)].又考察各對應有向量方向相同，故原式成立。

由此可知，點列的交比與其對應線束的交比是相同的。保持線束不變，取另一直線l'交線束與A'B'C'D'.可視爲對l作射影變換，（AB|CD）=（A'B'|C'D'）,由此說明交比是射影不變量。

上述說明在歐式平面內存在諸多漏洞，例如若p1//l,則沒有交點。但是，在射影幾何完整的公理化體系中有無窮遠點和無窮遠直線，拓廣實數集等無窮元素來“彌補”。而這些元素更是射影幾何的精華。

如上是對交比的說明，接近其公理化定義。
6 圖解

7 補充：
若交比爲-1，則稱爲調和比。以點列ABCD爲例，稱此爲調和點列，也稱點偶AB,CD相互調和共軛（調和分離），或稱D爲ABC的第四調和點。

同樣，我們還可以定義圓錐曲線上四個點的交比。對於一條圓錐曲線C,任取上面一個點P,那麼對於C上另外四個點，線束P(A,B,C,D)的交比取值同P的選取無關.於是，這個交比可以定義爲圓錐曲線C上四點A,B,C,D的交比，同樣可以極爲(AB|CD). 反之，我們也可以採用這裏的交比不變性作爲圓錐曲線C的定義，也就是給定平面四個點A,B,C,D,其中任意三點不共線，那麼使得線束P(A,B,C,D)的交比取常數的P點軌跡是一條圓錐曲線。

8 相關鏈接：

參考百度關於交比的解釋：點擊打開鏈接