普呂克座標Plücker是如何確定一條直線的

描述

在三維空間中，取直線上的兩個點$p1p_1p1​$和$p2p_2p2​$。
令$d=p2−p1,m=p1×p2d = p_2 - p_1, m = p_1 \times p_2d=p2​−p1​,m=p1​×p2​$。
將 $p1p_1p1​$和$p2p_2p2​$ 看作從原點$(0,0,0)(0,0,0)(0,0,0)$出發的兩向量。
首先是$ddd$, 由於$d=p2−p1d = p_2 - p_1d=p2​−p1​$是沒有單位化的，所以他有長度也有方向。
$mmm$的幾何意義是計算了一個面積（除以2就是三角形的面積）。對於這個面積，我們知道$ddd$是有長度的（底的長度確定），所以其實$mmm$也刻畫了高的信息（面積是確定的，三角形的底是確定的=>從而確定了高的長度）。如果單看這個高的約束對應到垂足，其實只是定義了一個圓。而此時，回到$d=p2−p1d = p_2 - p_1d=p2​−p1​$, $ddd$約束方向，也就是可以確定到底是圓上的哪個垂足對應的直線。
這樣子其實就可以確定空間中唯一的直線了。

解釋

有的小夥伴說，在計算$m=p1×p2m = p_1 \times p_2m=p1​×p2​$面積時，一個面積時多種情況的。這是顯然的。

所以此時$ddd$的方向性和長度就起到確定作用了
因爲首先$ddd$約束了方向，對於那些方向不一致的，我們自然排除。

上圖就是方向一致後的情況。別忘了$ddd$同樣約束了長度信息——同一個直線上的分佈在不同位置的這樣的相同長度的線段其實對應着同樣的高。
所以通過$d,md,md,m$是可以確定空間中唯一的直線的。