2019-12-02 校内数模新手赛

调查地铁站的路径选择问题

摘要

对于一二线城市，地铁已成为民众不可或缺的出行方式，为了减少在上班上学路上消耗的时间，人们也可谓绞尽脑汁。这次，我们要帮助p同学，在他解决地铁"最佳门"问题时提供耗时最短的路线。

针对问题一，本文把庞大复杂的地铁网络化繁为简，最终简化成只有中转站和起始站互相以线段连接的平面图，求解此问题等价于找到从起始点出发，经过所有中转站，再回到出发点的耗时最短的路径。本文将中转站与起始站标号，采用 $Floyd$ 算法和蚁群算法，在计算机上求解此变形后的 $TSP$ 问题。

针对问题二，类似解决问题一的思路，在对地铁站编号重整后，仍旧套用 $Floyd$ 进行预处理，化为传统的 $MTSP$ 问题。最后采用遗传算法进行求解得到最佳方案。

针对问题三，根据第二问结果，第三问即简单的概率模型，由于舅舅与舅妈两人出现在中转站的概率相互独立，只需根据公式求解即可。

关键词：最短路径 $Floyd$ 算法 蚁群算法 遗传算法 旅行商问题($TSP$) 多旅行商问题($MTSP$) 期望分析

1.问题的重述

中大南校的p同学想要进行一项非常有趣的研究------在广州地铁的各条线路间中转，如何在上车时选择合适的"最佳门"，使得下车时能尽快抢占先机，到达应转线路(例：乘坐8号线地铁时，若选择在16号门上车，则在下车时距离进入4号线站台的电梯最近)。p同学发现，搜索引擎并不能帮他找到地铁屏蔽门编号和线路切换所在电梯和门的具体相对位置。也就是说，p同学只能进行实地考察。

p同学不考虑从宿舍到达地铁站的时间，可以选择从中大站或鹭江站出发，返回时也可以选择回到中大站或鹭江站。对于 "自己怎么都不会去"的9,14,21,13号线相关中转站，p同学表示不感兴趣。地铁APM线与普通线路在地铁站内的换乘和出站模式接近，p同学认为不必调查。到达每个中转站进行调查时，p同学都需要走出地铁闸门，在站内进行观察，之后重新进入闸门（见附录1）。如果两次路过同一中转站，那么第二次可以不下地铁直接路过。

1. p同学应如何选择线路，使得进行该调查的耗时最低。

2. p同学认为集中时间调查完所有站点理论上太累。应如何选择线路，使得分5天进行该调查时耗时最低。

3. p同学的舅舅与舅妈在广州地铁8号线沿线各中转站上班，若他们每人每天在每个中转站上班的概率视为相等，每天上班时间视为全天，根据你在2.中给出的方案，计算与他们单人相遇总次数、与他们相遇次数和的期望与方差。

2.问题的分析

本题主要探究遍历地铁中转站所用时间多少和相遇次数的问题。问题1、2要求从路线规划出发，设计出使p同学调查耗时最短的路线，主要用到图论的知识。问题3则要求根据第二问得出的方案来计算与舅舅舅妈相遇的期望与方差，属于概率类问题。

2.1对问题1的分析

在处理问题1时，先分析地铁线路图，将不需要的线路删去，然后把某些可以当作一个站的地铁站合并，之后画出简化后的线路图。分析后可以发现，这个问题可以等价成具有局部重复路径的旅行商问题($TSP$)，在4.1.2中我们证明了 $Floyd$ 算法对解决该问题的作用，将其转化为了传统的 $TSP$ 问题，随后我们利用蚁群算法解决了这一问题，给出了最佳方案。

2.2对问题2的分析

在处理问题2时，类似对问题1的处理，对线路图进行简化。分析后发现该问题可转化为具有局部重复路径的多旅行商问题($MTSP$)，在4.1.2中证明了 $Floyd$ 算法对解决该问题的作用，将其转化为了传统的 $MTSP$ 问题，随后我们利用遗传算法解决了这一问题，给出了最佳方案。

2.3对问题3的分析

第三问是一个典型的概率问题，直接根据第二问得到的方案进行解答即可。

3.模型的假设与符号说明

3.1模型的假设

1. 假设p同学调查地铁站的整个过程中所有地铁正常运行。
2. 假设p同学在所有的中转站换乘时的等车时间不计。
3. 假设若p同学在规划的路径中将多次经过某一中转站的话，则其不一定在第一次到达该中转站时就进行考察。
4. 假设地铁从上一个中转站运行至下一个中转站的时间为广州地铁官网上提供的时间。
5. 假设当p同学转乘地铁时，舅舅舅妈在同一个中转站工作，则P同学与他们必定相遇。若经过中转站不下车换乘或调查，则p同学与舅舅舅妈不能相遇。

3.2符号说明

符号	说明	单位
$a_i$	中转站编号	/
$Dis$	总路程/(总时间)	/(min)
$dis_{i,j}$	中转站 $i,j$ 间距离(所需时间)	/(min)
$G$	连通图	/
$v_i$	顶点	个
$D$	路径	/
$\rho$	信息素的挥发程度	/
$\tau_{ij}(t)$	$t$ 时刻中转站 $i$ 与中转站 $j$ 连接路径上的信息素浓度	/
$\Delta\tau_{ij}^k$	第 $k$ 只蚂蚁在中转站 $i$ 与中转站 $j$ 连接路径上释放的信息素浓度	/
$P_{i,j}^k(t)$	表示 $t$ 时刻蚂蚁 $k$ 从中转站 $i$ 转移到中转站 $j$ 的概率	/
$\text{allow}_k$	蚂蚁 $k$ 待访问中转站的集合	/
$N$	遗传群体中的个体总数	个
$f_i$	个体 $i$ 的适应度	/
$P_i$	个体 $i$ 被选取的概率	/
$Q$	修正模型的常系数	/
$p$	舅舅/舅妈在四个中转站其一上班的概率	/
$n_i$	每条线路经过8号线中转站的次数	次
$E_1$	单人相遇次数的期望	次
$E_2$	与他们相遇次数和的期望	次
$D_1$	单人相遇次数的方差	$次^2$
$D_2$	与他们相遇次数和的方差	$次^2$

4.模型的建立

4.1问题1的模型建立与求解

4.1.1对地铁线路图的简化

通过查找数据，得到地铁在不同中转站之间运行所需时间。由于9,14,21,13号线相关的地铁中转站不在调查范围，我们先删去相关线路。之后，为观察方便，把两个中转站之间弯曲的线路变成连接两个站的线段，得到图1.1此时要遍历28个站。

图1.1

然后，为了便于计算，我们尝试再次简化图1.1：由于每个中转站都要调查，满足尽量减少时间的条件下，经过石壁与广州南站两个中转站的路径有且只有一条，将两站合并成一个地铁站不影响结果。此外，查询数据知，广州东站经1号线到体育西站的时间要多于经3号线到达的时间。在任何情况下，都可以选择3号线。所以，1号线此段线路可以删去而不影响结果。最终，我们得到的网络如图2.2所示。其中，编号1-27表示地铁站(图2.1)，线段上的数字表示乘坐地铁经过此路段需要的时间(单位：min)。 (合并后，在石壁停留的调查时间增加至20min，即增加了广州南站的调查时间和往返时间)

图2.1编号与地铁站的对应关系

图2.2

4.1.2模型的建立

1. 首先明确：在4.1.1的条件下，我们需要求在遍历编号为1-27的地铁站的情况下，从1(或2)出发，回到2(或1)的最短时间。中间可以走"回头路"，因此到达每一个地铁站的次数可能大于1次。

   为方便建模，经过每一段路线所经过的时间可以看作相对距离 $dis$。考虑一个符合题意的方案中依次途径的中转站编号序列为 $a_1,a_2,\cdots,a_m$，总路程为 $Dis=dis_{a_1,a_2}+dis_{a_2,a_3}+\cdots+dis_{a_{m-1},a_m}$。
   目标是求 $Dis_{min}$。

   经过分析后可以发现，由于1和2两点事实上可以合并考虑，该问题本质上就是具有局部重复路径的旅行商问题($TSP$)，接下来分成两部分对该问题进行求解。

2. 预处理—— $Floyd$ 算法

   $Floyd$ 算法又称为插点法，是一种利用动态规划的思想寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法。在本题中，主要为了在后续的蚁群算法求解中能生成具有局部重复路径的解决方案。为详细说明该预处理作用，下给出一个定理及其证明。

   定理：连通图 $G$ 中，在允许走重复路径的前提下，要使 $TSP$ 回路的长度最短，则旅行商从顶点 $v_1$ 到 $v_2$ 时，所经过的通路必是 $v_1$ 与 $v_2$ 间的最短路径。

   证明：假设顶点 $v_1$ 与 $v_2$ 间存在多条道路(包括那些经过其他顶点的间接路径)，若旅行商在从 $v_1$ 到 $v_2$ 时不经过 $v_1$ 与 $v_2$ 间的最短路径 $D_{min}$，而是经过路径 $D$，显然，使用 $D_{min}$ 代替通路 $D$ 能够获得更优的方案，得到的新的旅行路径必然就是图中两个顶点间最短路径组成。

   接下来阐述 $Floyd$ 算法的内容。从编号为 $i$ 的地铁站出发，目的地为编号 $j$ 的地铁站时($1\leq i\neq j\leq 27$)若选择直接到达，则距离为 $dis_{i,j}$。考虑除 $i,j$ 之外的站点中转，若存在站点 $k$，使得 $i\rightarrow k\rightarrow j$ 的距离 $dis'=dis_{i,k}+dis_{k,j}<dis_{i,j}$。

   则把 $dis'$ 的值赋给 $dis_{i,j}$。 继续在 $i,j$ 以外的其他中转站寻找这样的 $k$，直到确定 $dis_{i,j}$ 的最小值。

   重复上述步骤，找到1-27号地铁站任意两站点之间的 $dis_{min}$。站点之间的最小相对距离如下表。(第一行和第一列为中转站编号)

   站点	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27
   1	∞	5	9	22	27	15	21	28	26	31	23	18	25	19	25	29	33	14	6	14	27	26	33	16	22	12	46
   2	5	∞	4	17	22	10	16	23	31	36	28	23	20	14	20	24	28	19	11	17	30	21	28	11	27	17	42
   3	9	4	∞	13	18	6	12	19	28	40	32	24	16	10	16	20	24	23	15	13	26	17	24	7	31	21	38
   4	22	17	13	∞	5	19	25	32	41	53	45	37	29	23	29	33	37	36	28	26	35	26	11	20	44	34	51
   5	27	22	18	5	∞	14	20	27	36	48	42	32	24	18	24	28	32	35	33	31	40	31	16	25	49	39	46
   6	15	10	6	19	14	∞	6	13	22	34	28	18	10	4	10	14	18	21	21	19	32	23	30	13	37	27	32
   7	21	16	12	25	20	6	∞	7	16	28	22	12	4	4	10	14	18	15	23	25	38	29	36	19	32	29	32
   8	28	23	19	32	27	13	7	∞	9	21	23	13	5	11	16	12	18	16	24	32	45	36	43	26	33	30	29
   9	26	31	28	41	36	22	16	9	∞	12	18	8	14	20	25	21	27	12	20	28	41	44	52	34	28	26	20
   10	31	36	40	53	48	34	28	21	12	∞	8	18	26	32	37	33	39	17	25	33	46	49	64	39	18	28	32
   11	23	28	32	45	42	28	22	23	18	8	∞	10	18	26	32	35	40	9	17	25	38	41	56	31	10	20	38
   12	18	23	24	37	32	18	12	13	8	18	10	∞	8	16	22	25	30	4	12	20	33	36	48	26	20	18	28
   13	25	20	16	29	24	10	4	5	14	26	18	8	∞	8	14	17	22	11	19	27	40	33	40	23	28	25	34
   14	19	14	10	23	18	4	4	11	20	32	26	16	8	∞	6	10	14	19	25	23	36	27	34	17	36	31	28
   15	25	20	16	29	24	10	10	16	25	37	32	22	14	6	∞	4	10	25	31	29	42	33	40	23	42	37	22
   16	29	24	20	33	28	14	14	12	21	33	35	25	17	10	4	∞	6	28	35	33	46	37	44	27	45	41	18
   17	33	28	24	37	32	18	18	18	27	39	40	30	22	14	10	6	∞	33	39	37	50	41	48	31	50	45	24
   18	14	19	23	36	35	21	15	16	12	17	9	4	11	19	25	28	33	∞	8	16	29	32	47	22	19	14	32
   19	6	11	15	28	33	21	23	24	20	25	17	12	19	25	31	35	39	8	∞	8	21	24	39	14	16	6	40
   20	14	17	13	26	31	19	25	32	28	33	25	20	27	23	29	33	37	16	8	∞	13	16	31	6	21	11	48
   21	27	30	26	35	40	32	38	45	41	46	38	33	40	36	42	46	50	29	21	13	∞	9	24	19	34	24	61
   22	26	21	17	26	31	23	29	36	44	49	41	36	33	27	33	37	41	32	24	16	9	∞	15	10	37	27	55
   23	33	28	24	11	16	30	36	43	52	64	56	48	40	34	40	44	48	47	39	31	24	15	∞	25	52	42	62
   24	16	11	7	20	25	13	19	26	34	39	31	26	23	17	23	27	31	22	14	6	19	10	25	∞	27	17	45
   25	22	27	31	44	49	37	32	33	28	18	10	20	28	36	42	45	50	19	16	21	34	37	52	27	∞	10	48
   26	12	17	21	34	39	27	29	30	26	28	20	18	25	31	37	41	45	14	6	11	24	27	42	17	10	∞	46
   27	46	42	38	51	46	32	32	29	20	32	38	28	34	28	22	18	24	32	40	48	61	55	62	45	48	46	∞

   表3.1站点之间的最小相对距离

3. 正式求解——蚁群算法

   ① 蚁群算法介绍：
   蚂蚁在寻找食物源时，会在其经过的路径上释放一种信息素，并能够感知其他蚂蚁释放的信息素。信息素的浓度大小表征路径的远近，信息素浓度越高，表示对应的路径距离越短。

   通常，蚂蚁会以较大的概率优先选择信息素浓度较高的路径，并释放一定量的信息素，以增强该条路径上的信息素浓度，这样会形成一个正反馈。最终，蚂蚁能够找到一条最佳路径，即最短距离。

   同时，路径上的信息素浓度会随着时间的推进而逐渐衰减。

   ② 蚁群算法解决 $TSP$ 问题基本原理：

   不失一般性，设整个蚂蚁群体中蚂蚁的数量为 $m$，中转站的数量为 $n$，中转站 $i$ 与中转站 $j$ 之间的距离为 $dis_{i,j}(i,j=1,2,\cdots,n)$，$t$ 时刻中转站 $i$ 与中转站 $j$ 连接路径上的信息素浓度为 $\tau_{i j}(t)$。初始时刻，各个中转站间连接路径上的信息素浓度相同，不妨设为 $\tau_{i,j}(0)=\tau_0$。

   蚂蚁 $k(k=1,2,\cdots,m)$ 根据各个中转站间连接路径上的信息素浓度决定其下一个访问中转站，设 $P_{i,j}^k(t)$ 表示 $t$ 时刻蚂蚁 $k$ 从中转站 $i$ 转移到中转站 $j$ 的概率，其计算公式为
   $P_{i j}^{k}=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{\left[\tau_{i j}(t)\right]^{\alpha} \cdot\left[\eta_{i j}(t)\right]^{\beta}}{\sum_{s \in \text { allow }_{k}}\left[\tau_{i s}(t)\right]^{\alpha} \cdot\left[\eta_{i s}(t)\right]^{\beta}},} & {s \in \text { allow }_{k}} \\ {0,} & {s \notin \text { allow }_{k}}\end{array}\right.$
   其中，$\eta_{i j}(t)$ 为启发函数，$\eta_{i j}(t)=\frac{1}{d_{i,j}}$，表示蚂蚁从中转站 $i$ 转移到中转站 $j$ 的期望程度；$\text{allow}_k(k=1,2,\cdots,m)$ 为蚂蚁 $k$ 待访问中转站的集合，开始时，$\text{allow}_k$ 中有 $(n-1)$ 个元素，即包括了除了蚂蚁 $k$ 出发站点的其他所有站点，随着时间的推进，$\text{allow}_k$ 中的元素不断减少，直至为空，即表示所有的中转站均访问完毕；$\alpha$ 为信息素重要程度因子，其值越大，表示信息素的浓度在转移中起的作用越大；$\beta$ 为启发函数重要程度因子，其值越大，表示启发函数在转移中的作用越大，即蚂蚁会以较大的概率转移到距离短的中转站。

   如前文所述，在蚂蚁释放信息素的同时，各个中转站间连接路径上的信息素逐渐消失，设参数 $\rho(0<\rho<1)$ 表示信息素的挥发程度。因此，当所有蚂蚁完成一次循环后，各个城市间连接路径上的信息素浓度需进行实时更新，即
   $\left\{\begin{array}{l}{\tau_{ij}(t+1)=(1-\rho) \tau_{i j}(t)+\Delta \tau_{i j}} \\ {\Delta \tau_{i j}=\sum_{k=1}^{n} \Delta \tau_{i j}^{k}}\end{array}, \quad 0<\rho<1\right.$
   其中，$\Delta\tau_{ij}^k$ 表示第 $k$ 只蚂蚁在中转站 $i$ 与中转站 $j$ 连接路径上释放的信息素浓度；$\Delta\tau_{ij}$ 表示所有蚂蚁在中转站 $i$ 与中转站 $j$ 连接路径上释放的信息素浓度之和。

   针对蚂蚁释放信息素问题，本题中我们采用了 $ant\ cycle\ system$ 模型，在该模型中，$\Delta\tau_{ij}^k$ 的计算公式为
   $\Delta \tau_{i j}^{k}=\left\{\begin{array}{l}{Q / L_{k}},&第k只蚂蚁从中转站\ i\ 访问中转站\ j\ \\ {0},&其他\end{array}\right.$
   ③ 蚁群算法解决 $TSP$ 问题基本步骤

   基于上述原理，将蚁群算法应用于解决 $TSP$ 问题一般需要以下几个步骤，如图3.2所示。
   

   图3.2蚁群算法解决 TSP 问题基本步骤

4.1.3模型的结果

在本题中，由于可以重复经过路径，所以先用 $Floyd$ 算法进行预处理，进而转化成了一般性的 $TSP$ 问题。并且，由于在本问题中，每个地铁中转站只考察一次，因此在处理该问题时可以先不考虑考察时间，最后再加入答案中。将处理后的数据(表3.1)导入 MATLAB 中，应用蚁群算法。即可解得最优方案如下：

直观路线图如下图3.3：

图3.3模型结果

4.2问题2的模型建立与求解

4.2.1对地铁线路图的简化

类似4.1.1，在处理第二问的过程中，我们依旧是将每个中转站抽象成一个点。主要的改变是，在第二问中将1和2两个点进行合并。给各个地铁中转站的编号如下图4.1。另外，修改后得地铁中转站网络图如下图4.2，线段上的数字表示乘坐地铁经过此路段需要的时间(单位：min)。

图4.1编号与地铁站的对应关系

图4.2

4.2.2模型的建立

1. 首先明确：在4.2.1的条件下，我们需要求在遍历编号为1-26的地铁站的情况下，从1出发，回到1的最短时间。中间可以走“回头路”因此到达每一个地铁站的次数可能大于1次。

   为方便建模，经过每一段路线所经过的时间可以看作相对距离 $dis$。考虑一个符合题意的方案中，第 $i$ 天的出行中，依次途径的中转站编号序列为 $a_{i,1},a_{i,2},\cdots,a_{i,m}$，则五天出行的总路程为
   $Dis= \sum_{n=1}^5(dis_{a_{i,1},a_{i,2}}+dis_{a_{i,2},a_{i,3}}+\cdots+dis_{a_{i,m-1},a_{i,m}})$
   目标是求 $Dis_{min}$。

   经过分析后可以发现，与第一问类似，该问题本质上就是具有局部重复路径的多旅行商问题($MTSP$)，接下来分成两部分对该问题进行求解。

2. 预处理——$Floyd$ 算法

   在4.1.2中已经说明了该算法在生成具有局部重复路径的解决方案的过程中的作用，并且给出了对应的定理和证明，同时也已阐明了 $Floyd$ 算法的内容及应用，此处不再赘述。

   预处理后得到1-26号地铁站任意两站点之间的 $dis_{min}$。站点之间的最小相对距离如下表。(第一行和第一列为中转站编号)

   站点	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26
   1	∞	4	17	22	10	16	23	26	31	23	18	20	14	20	24	28	14	6	14	27	21	28	11	22	12	42
   2	4	∞	13	18	6	12	19	28	35	27	22	16	10	16	20	24	18	10	13	26	17	24	7	26	16	38
   3	17	13	∞	5	19	25	32	41	48	40	35	29	23	29	33	37	31	23	26	35	26	11	20	39	29	51
   4	22	18	5	∞	14	20	27	36	48	42	32	24	18	24	28	32	35	28	31	40	31	16	25	44	34	46
   5	10	6	19	14	∞	6	13	22	34	28	18	10	4	10	14	18	21	16	19	32	23	30	13	32	22	32
   6	16	12	25	20	6	∞	7	16	28	22	12	4	4	10	14	18	15	22	25	38	29	36	19	32	28	32
   7	23	19	32	27	13	7	∞	9	21	23	13	5	11	16	12	18	16	24	32	45	36	43	26	33	30	29
   8	26	28	41	36	22	16	9	∞	12	18	8	14	20	25	21	27	12	20	28	41	44	52	34	28	26	20
   9	31	35	48	48	34	28	21	12	∞	8	18	26	32	37	33	39	17	25	33	46	49	59	39	18	28	32
   10	23	27	40	42	28	22	23	18	8	∞	10	18	26	32	35	40	9	17	25	38	41	51	31	10	20	38
   11	18	22	35	32	18	12	13	8	18	10	∞	8	16	22	25	30	4	12	20	33	36	46	26	20	18	28
   12	20	16	29	24	10	4	5	14	26	18	8	∞	8	14	17	22	11	19	27	40	33	40	23	28	25	34
   13	14	10	23	18	4	4	11	20	32	26	16	8	∞	6	10	14	19	20	23	36	27	34	17	36	26	28
   14	20	16	29	24	10	10	16	25	37	32	22	14	6	∞	4	10	25	26	29	42	33	40	23	42	32	22
   15	24	20	33	28	14	14	12	21	33	35	25	17	10	4	∞	6	28	30	33	46	37	44	27	45	36	18
   16	28	24	37	32	18	18	18	27	39	40	30	22	14	10	6	∞	33	34	37	50	41	48	31	50	40	24
   17	14	18	31	35	21	15	16	12	17	9	4	11	19	25	28	33	∞	8	16	29	32	42	22	19	14	32
   18	6	10	23	28	16	22	24	20	25	17	12	19	20	26	30	34	8	∞	8	21	24	34	14	16	6	40
   19	14	13	26	31	19	25	32	28	33	25	20	27	23	29	33	37	16	8	∞	13	16	31	6	21	11	48
   20	27	26	35	40	32	38	45	41	46	38	33	40	36	42	46	50	29	21	13	∞	9	24	19	34	24	61
   21	21	17	26	31	23	29	36	44	49	41	36	33	27	33	37	41	32	24	16	9	∞	15	10	37	27	55
   22	28	24	11	16	30	36	43	52	59	51	46	40	34	40	44	48	42	34	31	24	15	∞	25	50	40	62
   23	11	7	20	25	13	19	26	34	39	31	26	23	17	23	27	31	22	14	6	19	10	25	∞	27	17	45
   24	22	26	39	44	32	32	33	28	18	11	20	28	36	42	45	50	19	16	21	34	37	50	27	∞	10	48
   25	12	16	29	34	22	28	30	26	28	20	18	25	26	32	36	40	14	6	11	24	27	40	17	10	∞	46
   26	42	38	51	46	32	32	29	20	32	38	28	34	28	22	18	24	32	40	48	61	55	62	45	48	46	∞

   表4.3站点之间的最小相对距离

3. 正式求解——遗传算法

   ① 遗传算法介绍：

   遗传算法是计算数学中用于解决最优化的搜索算法，是进化算法的一种。进化算法最初是借鉴了进化生物学中的一些现象而发展起来的，这些现象包括遗传、突变、自然选择以及杂交等。

   遗传算法通常实现方式为一种计算机模拟。对于一个最优化问题，一定数量的候选解(称为个体)可抽象表示为染色体，使种群向更好的解进化。传统上，解用二进制表示(即0和1的串)，但也可以用其他表示方法。进化从完全随机个体的种群开始，之后一代一代发生。在每一代中评价整个种群的适应度，从当前种群中随机地选择多个个体(基于它们的适应度)，通过自然选择和突变产生新的生命种群，该种群在算法的下一次迭代中成为当前种群。

   ② 遗传算法解决 $MTSP$ 问题基本步骤：

   首先进行二进制编码，即每个个体的基因型都是一个二进制编码符号串。接下来是进行交配，“交配运算”是使用单点或者多点进行交叉的算子。首先用随机数产生一个或者多个交配点位置，然后两个个体在交配点位置互换部分基因码，形成两个子个体。

   例如，两条染色体 $S_1=01001011,S_2=10010101$。交换其后4位基因，得$S_1'=01000101,S_2'=10001011$ 可以被看做原染色体 $S_1$ 和 $S_2$ 的子代染色体。

   另外，这过程中还存在着变异现象，主要包括突变和倒位。对于突变，举个例子，对于 $S_1=010110011$，第三位0突变成1，那么我们得到 $S_1'=011110011$。倒位是指一个染色体某区段正常排列顺序发生 $180^{\circ}$ 的颠倒，造成染色体内的 $DNA$ 序列重新排列。例如对于 $S_1=$010100010110110101进行倒位时得到 $S_1’=$010101101000110101。

   然后还要进行适应度评估。遗传算法依照与个体适应度成正比的机率决定当前种群中各个个体遗传到下一代群体的机会。个体适应度大的个体更容易被遗传到下一代。在本题中，利用该个体得到的五天路径总长度作为评估个体适应度大小的函数，长度越小适应度越高，长度越大适应度越低。

   最后还有选择的步骤，选择运算时根据个体适应度大小决定其下代遗传的可能性。设种群中个体总数为 $N$，个体 $i$ 的适应度为 $f_i$，则个体 $i$ 被选取的概率为 $P_i=\frac{f_i}{\sum_{i=1}^N}$。

   遗传算法的整个过程如下图4.4：
   

   图4.4遗传算法过程

4.2.3模型的结果

在本题中，由于可以重复经过路径，所以先用 $Floyd$ 算法进行预处理。同时，结合实际生活经验，为了能够不让p同学太累，合理规划出行调研路径，我们假设p同学不一定第一次经过某中转站就进行考察。于是，类似第一问，我们同样先将考察时间分离出来，剩下的问题就是一个典型的 $MTSP$ 问题。将处理后的数据(表4.3)导入 MATLAB 中，应用遗传算法。

其中不断修改参数min-tour(每天最少考察中转站数)，得到了下列图4.5：

图4.5修改参数得到的结果 由图4.5可以看出，单次调查中转站数量越少，总时间就越少。但是这样会出现一次调查耗时巨大的情况。

由于题目中认为“集中所有时间调查站点太累”，那么我们给出一个单次调查时间上限180min，在满足该条件并尽量使每天调查时间均匀的情况下，筛选出一个最优方案。即可解得最优方案如下(编号对应的地铁站可参照图4.1)：

图4.6模型的结果 最后基于这种方案得到最短总时间为544。

4.3问题3的模型建立与求解

首先由如下假设：当p同学转乘地铁时，舅舅舅妈在同一个中转站工作，则P同学与他们必定相遇。若经过中转站不下车换乘或调查，则p同学与舅舅舅妈不能相遇。

8号线只有四个中转站：25号沙园、18号昌岗、2号客村、3号万胜围。由于每天上班地点随机，在这四个站中，与舅舅或者舅妈中一个人相遇概率为 $p=0.25$。

方案中第一天——第五天的路线为上图4.6，设 $n_i(i=1,2,3,4,5)$ 为经过中转站次数(下列编号的地铁站可参考图4.1)

单人相遇次数(5天总共) $E_1=p\times(n_1+n_2+n_3+n_4+n_5)=2.75$
单人相遇方差$D_1=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5(p\cdot n_i-\frac{E_1}{5})=0.01$
与两人相遇总次数 $E_2=2.75\times 2=5.5$
与两人相遇方差 $D_2=4\times 0.01=0.04$

5.模型的推广与评价

本文为解决地铁站问题采用的算法可以应用在其他寻求最短路径以及类似的现实生活中的 $TSP$ 和 $MTSP$ 问题中。为了使既定条件下计算机能够求解该模型，对模型的优化方法在解决其他问题时也可以借鉴。

当然，模型也有一些缺点。如在等车时间的设置上，各个中转站的等车时间与线路地铁班数、线路人流量都相关，模型中全部取了一固定值。第二次经过中转站时下车换乘的时间在构建模型时也予以忽略，只是在计算出最终路径以后加到总时间上。

附录

$Floyd$ 预处理代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;

const int maxn=110;
const int waitTime=0;
const int INF=1000010;

int distances[maxn][maxn],n,times[maxn];
string paths[maxn][maxn];
string vertex[maxn]={"0","1","2","3","4","5","6","7","8","9","10","11","12",
"13","14","15","16","17","18","19","20","21","22","23","24","25","26","27","28"};

int main()
{
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("input.txt","w",stdout);

    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&times[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++){
            scanf("%d",&distances[i][j]);
            
            if(distances[i][j]>0)
            	distances[i][j]=distances[i][j]+waitTime;
            else distances[i][j]=INF;
            paths[i][j]=vertex[i]+" --> "+vertex[j];
        }
    
    for(int k=1;k<=n;k++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                if(distances[i][k]<INF&&distances[k][j]<INF&&i!=j)
                    if(distances[i][k]+distances[k][j]<distances[i][j]){
                        distances[i][j]=distances[j][i]=distances[i][k]+distances[k][j];
                        paths[i][j]=paths[i][k]+" --> "+vertex[j];
                    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++)
        printf("%d ",distances[i][j]);

        printf("\n");
    }
    
    printf("\n");

    for(int i=1;i<=n;i++){
        cout<<"顶点"<<vertex[i]<<":"<<endl;

        for(int j=1;j<=n;j++)
        cout<<paths[i][j]<<"	"<<distances[i][j]<<endl;

        printf("\n");
    }

    return 0;
}

预处理后得到的第一问的 $data.txt$：

1000010 5 9 22 27 15 21 28 26 31 23 18 25 19 25 29 33 14 6 14 27 26 33 16 22 12 46 
5 1000010 4 17 22 10 16 23 31 36 28 23 20 14 20 24 28 19 11 17 30 21 28 11 27 17 42 
9 4 1000010 13 18 6 12 19 28 40 32 24 16 10 16 20 24 23 15 13 26 17 24 7 31 21 38 
22 17 13 1000010 5 19 25 32 41 53 45 37 29 23 29 33 37 36 28 26 35 26 11 20 44 34 51 
27 22 18 5 1000010 14 20 27 36 48 42 32 24 18 24 28 32 35 33 31 40 31 16 25 49 39 46 
15 10 6 19 14 1000010 6 13 22 34 28 18 10 4 10 14 18 21 21 19 32 23 30 13 37 27 32 
21 16 12 25 20 6 1000010 7 16 28 22 12 4 4 10 14 18 15 23 25 38 29 36 19 32 29 32 
28 23 19 32 27 13 7 1000010 9 21 23 13 5 11 16 12 18 16 24 32 45 36 43 26 33 30 29 
26 31 28 41 36 22 16 9 1000010 12 18 8 14 20 25 21 27 12 20 28 41 44 52 34 28 26 20 
31 36 40 53 48 34 28 21 12 1000010 8 18 26 32 37 33 39 17 25 33 46 49 64 39 18 28 32 
23 28 32 45 42 28 22 23 18 8 1000010 10 18 26 32 35 40 9 17 25 38 41 56 31 10 20 38 
18 23 24 37 32 18 12 13 8 18 10 1000010 8 16 22 25 30 4 12 20 33 36 48 26 20 18 28 
25 20 16 29 24 10 4 5 14 26 18 8 1000010 8 14 17 22 11 19 27 40 33 40 23 28 25 34 
19 14 10 23 18 4 4 11 20 32 26 16 8 1000010 6 10 14 19 25 23 36 27 34 17 36 31 28 
25 20 16 29 24 10 10 16 25 37 32 22 14 6 1000010 4 10 25 31 29 42 33 40 23 42 37 22 
29 24 20 33 28 14 14 12 21 33 35 25 17 10 4 1000010 6 28 35 33 46 37 44 27 45 41 18 
33 28 24 37 32 18 18 18 27 39 40 30 22 14 10 6 1000010 33 39 37 50 41 48 31 50 45 24 
14 19 23 36 35 21 15 16 12 17 9 4 11 19 25 28 33 1000010 8 16 29 32 47 22 19 14 32 
6 11 15 28 33 21 23 24 20 25 17 12 19 25 31 35 39 8 1000010 8 21 24 39 14 16 6 40 
14 17 13 26 31 19 25 32 28 33 25 20 27 23 29 33 37 16 8 1000010 13 16 31 6 21 11 48 
27 30 26 35 40 32 38 45 41 46 38 33 40 36 42 46 50 29 21 13 1000010 9 24 19 34 24 61 
26 21 17 26 31 23 29 36 44 49 41 36 33 27 33 37 41 32 24 16 9 1000010 15 10 37 27 55 
33 28 24 11 16 30 36 43 52 64 56 48 40 34 40 44 48 47 39 31 24 15 1000010 25 52 42 62 
16 11 7 20 25 13 19 26 34 39 31 26 23 17 23 27 31 22 14 6 19 10 25 1000010 27 17 45 
22 27 31 44 49 37 32 33 28 18 10 20 28 36 42 45 50 19 16 21 34 37 52 27 1000010 10 48 
12 17 21 34 39 27 29 30 26 28 20 18 25 31 37 41 45 14 6 11 24 27 42 17 10 1000010 46 
46 42 38 51 46 32 32 29 20 32 38 28 34 28 22 18 24 32 40 48 61 55 62 45 48 46 1000010 

预处理后得到的第二问的 $input.txt$：

1000010 4 17 22 10 16 23 26 31 23 18 20 14 20 24 28 14 6 14 27 21 28 11 22 12 42 
4 1000010 13 18 6 12 19 28 35 27 22 16 10 16 20 24 18 10 13 26 17 24 7 26 16 38 
17 13 1000010 5 19 25 32 41 48 40 35 29 23 29 33 37 31 23 26 35 26 11 20 39 29 51 
22 18 5 1000010 14 20 27 36 48 42 32 24 18 24 28 32 35 28 31 40 31 16 25 44 34 46 
10 6 19 14 1000010 6 13 22 34 28 18 10 4 10 14 18 21 16 19 32 23 30 13 32 22 32 
16 12 25 20 6 1000010 7 16 28 22 12 4 4 10 14 18 15 22 25 38 29 36 19 32 28 32 
23 19 32 27 13 7 1000010 9 21 23 13 5 11 16 12 18 16 24 32 45 36 43 26 33 30 29 
26 28 41 36 22 16 9 1000010 12 18 8 14 20 25 21 27 12 20 28 41 44 52 34 28 26 20 
31 35 48 48 34 28 21 12 1000010 8 18 26 32 37 33 39 17 25 33 46 49 59 39 18 28 32 
23 27 40 42 28 22 23 18 8 1000010 10 18 26 32 35 40 9 17 25 38 41 51 31 10 20 38 
18 22 35 32 18 12 13 8 18 10 1000010 8 16 22 25 30 4 12 20 33 36 46 26 20 18 28 
20 16 29 24 10 4 5 14 26 18 8 1000010 8 14 17 22 11 19 27 40 33 40 23 28 25 34 
14 10 23 18 4 4 11 20 32 26 16 8 1000010 6 10 14 19 20 23 36 27 34 17 36 26 28 
20 16 29 24 10 10 16 25 37 32 22 14 6 1000010 4 10 25 26 29 42 33 40 23 42 32 22 
24 20 33 28 14 14 12 21 33 35 25 17 10 4 1000010 6 28 30 33 46 37 44 27 45 36 18 
28 24 37 32 18 18 18 27 39 40 30 22 14 10 6 1000010 33 34 37 50 41 48 31 50 40 24 
14 18 31 35 21 15 16 12 17 9 4 11 19 25 28 33 1000010 8 16 29 32 42 22 19 14 32 
6 10 23 28 16 22 24 20 25 17 12 19 20 26 30 34 8 1000010 8 21 24 34 14 16 6 40 
14 13 26 31 19 25 32 28 33 25 20 27 23 29 33 37 16 8 1000010 13 16 31 6 21 11 48 
27 26 35 40 32 38 45 41 46 38 33 40 36 42 46 50 29 21 13 1000010 9 24 19 34 24 61 
21 17 26 31 23 29 36 44 49 41 36 33 27 33 37 41 32 24 16 9 1000010 15 10 37 27 55 
28 24 11 16 30 36 43 52 59 51 46 40 34 40 44 48 42 34 31 24 15 1000010 25 50 40 62 
11 7 20 25 13 19 26 34 39 31 26 23 17 23 27 31 22 14 6 19 10 25 1000010 27 17 45 
22 26 39 44 32 32 33 28 18 11 20 28 36 42 45 50 19 16 21 34 37 50 27 1000010 10 48 
12 16 29 34 22 28 30 26 28 20 18 25 26 32 36 40 14 6 11 24 27 40 17 10 1000010 46 
42 38 51 46 32 32 29 20 32 38 28 34 28 22 18 24 32 40 48 61 55 62 45 48 46 1000010 

$MATLAB$ 蚁群算法代码：

%% 清空环境变量
clear all
clc

%% 导入数据
load data.txt

%% 计算城市间相互距离
n = size(data,1);
D = data;

%% 初始化参数
m = 35;                              % 蚂蚁数量
alpha = 3;                           % 信息素重要程度因子
beta = 4;                            % 启发函数重要程度因子
rho = 0.2;                           % 信息素挥发因子
Q = 0.8;                               % 常系数
Eta = 1./D;                          % 启发函数
Tau = ones(n,n);                     % 信息素矩阵
Table = zeros(m,n);                  % 路径记录表
iter = 1;                            % 迭代次数初值
iter_max = 3500;                      % 最大迭代次数 
Route_best = zeros(iter_max,n);      % 各代最佳路径       
Length_best = zeros(iter_max,1);     % 各代最佳路径的长度  
Length_ave = zeros(iter_max,1);      % 各代路径的平均长度  

%% 迭代寻找最佳路径
while iter <= iter_max
    % 随机产生各个蚂蚁的起点城市
      start = zeros(m,1);
      for i = 1:m
          % temp = 1;
          start(i) = 1;
      end
      Table(:,1) = start; 
      % 构建解空间
      citys_index = 1:n;
      % 逐个蚂蚁路径选择
      for i = 1:m
          % 逐个城市路径选择
         for j = 2:n
             tabu = Table(i,1:(j - 1));           % 已访问的城市集合(禁忌表)
             allow_index = ~ismember(citys_index,tabu);
             allow = citys_index(allow_index);  % 待访问的城市集合
             P = allow;
             % 计算城市间转移概率
             for k = 1:length(allow)
                 P(k) = Tau(tabu(end),allow(k))^alpha * Eta(tabu(end),allow(k))^beta;
             end
             P = P/sum(P);
             % 轮盘赌法选择下一个访问城市
             Pc = cumsum(P);     
            target_index = find(Pc >= rand); 
            target = allow(target_index(1));
            Table(i,j) = target;
         end
      end
      % 计算各个蚂蚁的路径距离
      Length = zeros(m,1);
      for i = 1:m
          Route = Table(i,:);
          for j = 1:(n - 1)
              Length(i) = Length(i) + D(Route(j),Route(j + 1));
          end
          Length(i) = Length(i) + D(Route(n),Route(1));
      end
      % 计算最短路径距离及平均距离
      if iter == 1
          [min_Length,min_index] = min(Length);
          Length_best(iter) = min_Length;  
          Length_ave(iter) = mean(Length);
          Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);
      else
          [min_Length,min_index] = min(Length);
          Length_best(iter) = min(Length_best(iter - 1),min_Length);
          Length_ave(iter) = mean(Length);
          if Length_best(iter) == min_Length
              Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);
          else
              Route_best(iter,:) = Route_best((iter-1),:);
          end
      end
      % 更新信息素
      Delta_Tau = zeros(n,n);
      % 逐个蚂蚁计算
      for i = 1:m
          % 逐个城市计算
          for j = 1:(n - 1)
              Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) = Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) + Q/Length(i);
          end
          Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) = Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) + Q/Length(i);
      end
      Tau = (1-rho) * Tau + Delta_Tau;
    % 迭代次数加1，清空路径记录表
    iter = iter + 1;
    Table = zeros(m,n);
end

%% 结果显示
[Shortest_Length,index] = min(Length_best);
Shortest_Route = Route_best(index,:);
disp(['最短距离:' num2str(Shortest_Length)]);
disp(['最短路径:' num2str([Shortest_Route Shortest_Route(1)])]);

$MATLAB$ 遗传算法代码：

%% 
load input.txt

n = 26;
xy = 10*rand(n,2);
salesmen = 5;
min_tour = 4;
pop_size = 160;
num_iter = 5e3;
a = meshgrid(1:n);
dmat = input;
[opt_rte,opt_brk,min_dist] = mtspf_ga(xy,dmat,salesmen,min_tour, ...
pop_size,num_iter,1,1);

%% 
function varargout = mtspf_ga(xy,dmat,salesmen,min_tour,pop_size,num_iter,show_prog,show_res)

% Process Inputs and Initialize Defaults
% Verify Inputs
[N,dims] = size(xy);
[nr,nc] = size(dmat);
if N ~= nr || N ~= nc
    error('Invalid XY or DMAT inputs!')
end
n = N - 1; % Separate Start/End City
 
% Sanity Checks
salesmen = max(1,min(n,round(real(salesmen(1)))));
min_tour = max(1,min(floor(n/salesmen),round(real(min_tour(1)))));
pop_size = max(8,8*ceil(pop_size(1)/8));
num_iter = max(1,round(real(num_iter(1))));
show_prog = logical(show_prog(1));
show_res = logical(show_res(1));
 
% Initializations for Route Break Point Selection
num_brks = salesmen-1;
dof = n - min_tour*salesmen;          % degrees of freedom
addto = ones(1,dof+1);
for k = 2:num_brks
    addto = cumsum(addto);
end
cum_prob = cumsum(addto)/sum(addto);
 
% Initialize the Populations
pop_rte = zeros(pop_size,n);          % population of routes
pop_brk = zeros(pop_size,num_brks);   % population of breaks
for k = 1:pop_size
    pop_rte(k,:) = randperm(n)+1;
    pop_brk(k,:) = randbreaks();
end
 
% Select the Colors for the Plotted Routes
clr = [1 0 0; 0 0 1; 0.67 0 1; 0 1 0; 1 0.5 0];
if salesmen > 5
    clr = hsv(salesmen);
end
 
% Run the GA
global_min = Inf;
total_dist = zeros(1,pop_size);
dist_history = zeros(1,num_iter);
tmp_pop_rte = zeros(8,n);
tmp_pop_brk = zeros(8,num_brks);
new_pop_rte = zeros(pop_size,n);
new_pop_brk = zeros(pop_size,num_brks);
if show_prog
    pfig = figure('Name','MTSPF_GA | Current Best Solution','Numbertitle','off');
end
for iter = 1:num_iter
    % Evaluate Members of the Population
    for p = 1:pop_size
        d = 0;
        p_rte = pop_rte(p,:);
        p_brk = pop_brk(p,:);
        rng = [[1 p_brk+1];[p_brk n]]';
        for s = 1:salesmen
            d = d + dmat(1,p_rte(rng(s,1))); % Add Start Distance
            for k = rng(s,1):rng(s,2)-1
                d = d + dmat(p_rte(k),p_rte(k+1));
            end
            d = d + dmat(p_rte(rng(s,2)),1); % Add End Distance
        end
        total_dist(p) = d;
    end
 
    % Find the Best Route in the Population
    [min_dist,index] = min(total_dist);
    dist_history(iter) = min_dist;
    if min_dist < global_min
        global_min = min_dist;
        opt_rte = pop_rte(index,:);
        opt_brk = pop_brk(index,:);
        rng = [[1 opt_brk+1];[opt_brk n]]';
        if show_prog
            % Plot the Best Route
            figure(pfig);
            for s = 1:salesmen
                rte = [1 opt_rte(rng(s,1):rng(s,2)) 1];
                if dims == 3, plot3(xy(rte,1),xy(rte,2),xy(rte,3),'.-','Color',clr(s,:));
                else plot(xy(rte,1),xy(rte,2),'.-','Color',clr(s,:)); end
                title(sprintf('Total Distance = %1.4f, Iteration = %d',min_dist,iter));
                hold on
            end
            if dims == 3, plot3(xy(1,1),xy(1,2),xy(1,3),'ko');
            else plot(xy(1,1),xy(1,2),'ko'); end
            hold off
        end
    end
 
    % Genetic Algorithm Operators
    rand_grouping = randperm(pop_size);
    for p = 8:8:pop_size
        rtes = pop_rte(rand_grouping(p-7:p),:);
        brks = pop_brk(rand_grouping(p-7:p),:);
        dists = total_dist(rand_grouping(p-7:p));
        [ignore,idx] = min(dists);
        best_of_8_rte = rtes(idx,:);
        best_of_8_brk = brks(idx,:);
        rte_ins_pts = sort(ceil(n*rand(1,2)));
        I = rte_ins_pts(1);
        J = rte_ins_pts(2);
        for k = 1:8 % Generate New Solutions
            tmp_pop_rte(k,:) = best_of_8_rte;
            tmp_pop_brk(k,:) = best_of_8_brk;
            switch k
                case 2 % Flip
                    tmp_pop_rte(k,I:J) = fliplr(tmp_pop_rte(k,I:J));
                case 3 % Swap
                    tmp_pop_rte(k,[I J]) = tmp_pop_rte(k,[J I]);
                case 4 % Slide
                    tmp_pop_rte(k,I:J) = tmp_pop_rte(k,[I+1:J I]);
                case 5 % Modify Breaks
                    tmp_pop_brk(k,:) = randbreaks();
                case 6 % Flip, Modify Breaks
                    tmp_pop_rte(k,I:J) = fliplr(tmp_pop_rte(k,I:J));
                    tmp_pop_brk(k,:) = randbreaks();
                case 7 % Swap, Modify Breaks
                    tmp_pop_rte(k,[I J]) = tmp_pop_rte(k,[J I]);
                    tmp_pop_brk(k,:) = randbreaks();
                case 8 % Slide, Modify Breaks
                    tmp_pop_rte(k,I:J) = tmp_pop_rte(k,[I+1:J I]);
                    tmp_pop_brk(k,:) = randbreaks();
                otherwise % Do Nothing
            end
        end
        new_pop_rte(p-7:p,:) = tmp_pop_rte;
        new_pop_brk(p-7:p,:) = tmp_pop_brk;
    end
    pop_rte = new_pop_rte;
    pop_brk = new_pop_brk;
end
 
if show_res
    % Plots
    figure('Name','MTSPF_GA | Results','Numbertitle','off');
    subplot(2,2,1);
    if dims == 3, plot3(xy(:,1),xy(:,2),xy(:,3),'k.');
    else plot(xy(:,1),xy(:,2),'k.'); end
    title(' Locations');
    subplot(2,2,2);
    imagesc(dmat([1 opt_rte],[1 opt_rte]));
    title('Distance Matrix');
    subplot(2,2,3);
    rng = [[1 opt_brk+1];[opt_brk n]]';
    for s = 1:salesmen
        rte = [1 opt_rte(rng(s,1):rng(s,2)) 1]
        if dims == 3, plot3(xy(rte,1),xy(rte,2),xy(rte,3),'.-','Color',clr(s,:));
        else plot(xy(rte,1),xy(rte,2),'.-','Color',clr(s,:)); end
        title(sprintf('Total time = %1.4f',min_dist));
        hold on;
    end
    if dims == 3, plot3(xy(1,1),xy(1,2),xy(1,3),'ko');
    else plot(xy(1,1),xy(1,2),'ko'); end
    subplot(2,2,4);
plot(dist_history,'b','LineWidth',2);
    title('Best Solution History');
    set(gca,'XLim',[0 num_iter+1],'YLim',[0 1.1*max([1 dist_history])]);
end
 
% Return Outputs
if nargout
    varargout{1} = opt_rte;
    varargout{2} = opt_brk;
    varargout{3} = min_dist;
end
 
    % Generate Random Set of Break Points
    function breaks = randbreaks()
        if min_tour == 1 % No Constraints on Breaks
            tmp_brks = randperm(n-1);
            breaks = sort(tmp_brks(1:num_brks));
        else % Force Breaks to be at Least the Minimum Tour Length
            num_adjust = find(rand < cum_prob,1)-1;
            spaces = ceil(num_brks*rand(1,num_adjust));
            adjust = zeros(1,num_brks);
            for kk = 1:num_brks
                adjust(kk) = sum(spaces == kk);
            end
            breaks = min_tour*(1:num_brks) + cumsum(adjust);
        end
    end
end
+1],'YLim',[0 1.1*max([1 dist_history])]);
end
 
% Return Outputs
if nargout
    varargout{1} = opt_rte;
    varargout{2} = opt_brk;
    varargout{3} = min_dist;
end
 
    % Generate Random Set of Break Points
    function breaks = randbreaks()
        if min_tour == 1 % No Constraints on Breaks
            tmp_brks = randperm(n-1);
            breaks = sort(tmp_brks(1:num_brks));
        else % Force Breaks to be at Least the Minimum Tour Length
            num_adjust = find(rand < cum_prob,1)-1;
            spaces = ceil(num_brks*rand(1,num_adjust));
            adjust = zeros(1,num_brks);
            for kk = 1:num_brks
                adjust(kk) = sum(spaces == kk);
            end
            breaks = min_tour*(1:num_brks) + cumsum(adjust);
        end
    end
end