矩陣知識：秩

一、矩陣的秩

1.1 秩的定義

$設A=(a_{ij})_{m*n}，有r階子式不爲0，任何r+1階子式（如果存在的話）全爲0，稱r爲矩陣A的秩，記作R(A)$

1.2 矩陣秩的求法

1.2.1 子式判別法（利用定義）

例子：
$A=\begin{pmatrix}1&2&3&0\\0&1&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}$求R(A)
解：
存在
$\begin{vmatrix}1&2&3\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}=1\ne0$
$\therefore 存在一個三階子式不爲0$
A沒有四階子式，所以$R(A)=3$

1.2.2 用初等變化法求矩陣的秩

定理一：矩陣初等變換不改變矩陣的秩

所以第二種求矩陣A的秩的方法：

1. 將A轉化爲階梯型矩陣B
2. $R(B)$等於非零行行數，R(A)=R(B)

1.3 滿秩矩陣

1.3.1 定義

A爲n階方陣時：
$R(A)=n$，稱A是滿秩陣（非奇異矩陣）
$R(A)<n$，稱A是降秩陣（奇異矩陣）

可見：$R(A)=n\iff|A|\ne0$

對於滿秩方陣A施行初等行變換可以化爲單位陣E，又根據初等陣的作用，每對A施行一次初等行變換，相當於用一個對應的初等矩陣左乘A，由此可得到下面的定理

1.3.2 定理

$設A是滿秩方陣，則存在一系列初等方陣P_1,P_2,...,P_s，使得： P_sP_{s-1}\dots P_2P_1A=E$

1.3.3 關於秩的一些結論

• 零矩陣的秩爲0
• 根據行列式的性質，$R(A)=R(A^T)$
• $A爲m\times n矩陣，0\le R(A)\le min(m,n)$

1.3.4 定理

$R(AB)\le R(A),R(AB)\le R(B)$，即：
$R(AB)\le min(R(A),R(B))$

設A是$m\times n$矩陣，B是$n\times t$矩陣：

1.3.5 定理

$R(A)+R(B)-n\le R(AB)$

推論：

• 如果AB=0，則：$R(A)+R(B)\le n$
• 如果$R(A)=n,AB=0$，則B=0
• 若A，B均爲$m\times n$矩陣，則：
  $R(A\pm B)\le R(A)+R(B)$

1.3.6 定理

$A是一個s\times n矩陣，如果P是s\times s可逆矩陣，Q是n\times n可逆矩陣，那麼：$
$秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ)$

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