矩阵知识：秩

一、矩阵的秩

1.1 秩的定义

$设A=(a_{ij})_{m*n}，有r阶子式不为0，任何r+1阶子式（如果存在的话）全为0，称r为矩阵A的秩，记作R(A)$

1.2 矩阵秩的求法

1.2.1 子式判别法（利用定义）

例子：
$A=\begin{pmatrix}1&2&3&0\\0&1&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}$求R(A)
解：
存在
$\begin{vmatrix}1&2&3\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}=1\ne0$
$\therefore 存在一个三阶子式不为0$
A没有四阶子式，所以$R(A)=3$

1.2.2 用初等变化法求矩阵的秩

定理一：矩阵初等变换不改变矩阵的秩

所以第二种求矩阵A的秩的方法：

1. 将A转化为阶梯型矩阵B
2. $R(B)$等于非零行行数，R(A)=R(B)

1.3 满秩矩阵

1.3.1 定义

A为n阶方阵时：
$R(A)=n$，称A是满秩阵（非奇异矩阵）
$R(A)<n$，称A是降秩阵（奇异矩阵）

可见：$R(A)=n\iff|A|\ne0$

对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E，又根据初等阵的作用，每对A施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等矩阵左乘A，由此可得到下面的定理

1.3.2 定理

$设A是满秩方阵，则存在一系列初等方阵P_1,P_2,...,P_s，使得： P_sP_{s-1}\dots P_2P_1A=E$

1.3.3 关于秩的一些结论

• 零矩阵的秩为0
• 根据行列式的性质，$R(A)=R(A^T)$
• $A为m\times n矩阵，0\le R(A)\le min(m,n)$

1.3.4 定理

$R(AB)\le R(A),R(AB)\le R(B)$，即：
$R(AB)\le min(R(A),R(B))$

设A是$m\times n$矩阵，B是$n\times t$矩阵：

1.3.5 定理

$R(A)+R(B)-n\le R(AB)$

推论：

• 如果AB=0，则：$R(A)+R(B)\le n$
• 如果$R(A)=n,AB=0$，则B=0
• 若A，B均为$m\times n$矩阵，则：
  $R(A\pm B)\le R(A)+R(B)$

1.3.6 定理

$A是一个s\times n矩阵，如果P是s\times s可逆矩阵，Q是n\times n可逆矩阵，那么：$
$秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ)$

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