矩陣知識：線性變換、相似矩陣、對角矩陣、逆矩陣

一、線性變換

1.1 什麼是線性變換

首先給出一個比較抽象的解釋方式：
$對於一個變換A，找兩個向量，如果這個變換滿足可加性與齊次性：$
$A(\alpha+\beta)=A\alpha+A\beta$
$A(k\alpha)=k(A\alpha)$
$那麼這個變換就是線性變換$

1.2 從函數角度理解

1.2.1 首先複習下函數

函數客觀的講就是把x軸上的點映射到曲線上，以下是一個正弦函數：

1.2.2 線性函數

有的函數，比如y=x，是把x軸上的點映射到直線上，這種稱之爲線性函數：

1.3 從線性函數到線性變換

線性函數其實就是線性變換，爲了看起來更像線性變換，這裏換一種標記方法：

之前的y=x，可以認爲是把 $(a,0)$ 映射到了 $(0,a)$ 點，這被稱爲線性變換T，記作：

矩陣的形式如下：

這裏將 $(a,0)$ 替換爲平面內所有的點 $(a,b)$ ，我們就可以對整個平面做變換，該線性變換記作：

寫成矩陣的形式：

我們記：

這時可以得到一個更簡便的記法（這種形式看起來更像線性方程 $y=ax$ ）：

我們已經假定 $\overrightarrow{y},\overrightarrow{x}$ 指代了平面上所有的點，所以乾脆可以更簡化爲：

線性變換通過矩陣A來表示

而y=x不過是這個A的一個特殊情況

1.4 矩陣A與基

剛纔的結論其實是不完整的，還缺少了一個信息：
y=x是基於直角座標系的，通過這個轉換：

得到的A也是基於直角座標系的。
只是在線性變換中，我們不稱之爲直角座標系，而是叫做標準正交基。
標準正交基是：

它們張成的線性空間如下：

這裏，對前面的結論進行一個補充：

線性變換通過指定基下的矩陣A來表示

注意這個”指定基“，這說明基不一定固定爲正交基，由此引出相似矩陣的概念。

二、相似矩陣

2.1 定義：

設 $A,B$ 都是n階矩陣，若有n階可逆矩陣 $P$ ，使：

則稱 $B$ 是 $A$ 的相似矩陣，或者說 $A$ 和 $B$ 相似。

2.2 解釋

那怎麼得到不同基下的矩陣呢? 這裏看下具體的變換細節。

2.2.1 細節

首先看一個圖，下面給出關於圖的解釋：

有兩個基： $V_1:\{\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\}$ 和 $\{\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'}\}$
$V1\to V2$ ，可以通過 $P^{-1}$ 轉換
$V2\to V1$ ，可以通過 $P$ 轉換

整個轉換的核心如下：

對上面的圖進行解釋：

$\overrightarrow{v'}$ 是 $V_2$ 的點
$\overrightarrow{v'}$ 通過 $P$ 變爲 $V_1$ 下的點，即 $P\overrightarrow{v'}$
在 $V_1$ 下，通過矩陣 $A$ 完成線性變換，即 $AP\overrightarrow{v'}$
通過 $P^{-1}$ 變回 $V_2$ 下的點，即 $P^{-1}AP\overrightarrow{v'}$

綜上，我們可以有：

我們可以認爲：

那麼B和A互爲相似矩陣。

這裏還有一個細節： $V_2\to V_1$ 的轉換矩陣 $P$ 是什麼？
首先看空間中的一個點，假設爲 $m$ 點：

這時我們知道，不管有沒有基，這個點都是客觀存在的，然後給出其在 $\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'}$ 的座標 $\overrightarrow{v'}$ ：

爲了表示 $\overrightarrow{v'}$ 是 $\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'}$ 下的座標，我們寫成這樣：

如果我們知道了 $\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'}$ 在 $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$ 下的座標：

那麼有：
$\overrightarrow{v'}=a\overrightarrow{i'}+\overrightarrow{j'}=a(c\overrightarrow{i}+d\overrightarrow{j})+b(e\overrightarrow{i}+f\overrightarrow{j})$

此時，實際上m點的座標，已經變到了 $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$ 下的 $\overrightarrow{v}$ ：

繼續推導：

所以P其實就是：

這裏的 $\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'}$ 是在 $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$ 下的座標。

2.2.2 對角矩陣

爲什麼我們需要相似矩陣呢？
比如A這個矩陣：

可以這樣分解：

其中：

B就是對角矩陣，看上去好看很多，相似變換其實就是座標轉換，轉換到一個更方便計算的簡單座標系。

https://www.matongxue.com/madocs/491.html

2.3 相似的性質：

反身性： $A\backsim A\quad(I^{-1}AI=A)$
對稱性： $A\backsim B\rArr B\backsim A$
$(A\backsim B\rArr P^{-1}AP=B\rArr A=(P^{-1})^{-1}BP^{-1})$
傳遞性： $A\backsim B,B\backsim C,\rArr A\backsim C$
$P_1^{-1}AP_1=B,P_2^{-1}BP_2=C$
$\therefore P_2^{-1}P_1^{-1}AP_2P_1=C$
$\therefore (P_1P_2)^{-1}A(P_1P_2)=C$

三、對角矩陣

3.1 矩陣可對角化

如果矩陣 $A$ 能與對角矩陣相似，則稱 $A$ 可對角化
例子：
設 $A=\begin{bmatrix}1&1\\2&2\end{bmatrix},P=\begin{bmatrix}1&-1\\2&1\end{bmatrix}$ ，則有：
$P^{-1}AP=\begin{bmatrix}3&0\\0&0\end{bmatrix}$
即： $A\backsim\begin{bmatrix}3&0\\0&0\end{bmatrix}$
從而 $A$ 可對角化

3.2 可對角化的條件

3.2.1 定理1：n階矩陣A可對角化的充分必要條件是A有n個線性無關的特徵向量

證明：
必要性：
如果A可對角化，則存在可逆矩陣P，使得：
$A=\begin{bmatrix}\lambda_1&0&0&\dots&0\\0&\lambda_2&0&\dots&0\\\vdots&\dots&\dots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\dots&\lambda_n\end{bmatrix}$

將P按列分塊得到 $P=[X_1,X_2,...,X_n]$ ，從而有：

$AP=A[X_1,X_2,...,X_n]=P\begin{bmatrix}\lambda_1&0&\dots&0\\0&\lambda_2&\dots&0\\\vdots&\dots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&\lambda_n\end{bmatrix}=[X_1,X_2,...,X_n]\begin{bmatrix}\lambda_1&0&\dots&0\\0&\lambda_2&\dots&0\\\vdots&\dots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&\lambda_n\end{bmatrix}$
因此有：
$AX_i=\lambda_iX_i\quad(i=1,2,...,n)$ ，所以 $X_i$ 是A的屬於特徵值 $\lambda_i$ 的特徵向量，又由P可逆，知 $X_1,X_2,...,X_n$ 線性無關，故A有n個線性無關的特徵向量。

3.2.2 定理2：矩陣A的屬於不同特徵

https://wenku.baidu.com/view/58dcd9d376eeaeaad1f33024.html

四、可逆矩陣

4.1 定義

設A爲n階方陣，若存在n階方陣B，使得：
$AB=BA=I$
則稱A爲可逆矩陣，B爲A的逆矩陣，記爲 $A^{-1}=B$

單位矩陣I：
$I^{-1}=I$
$(kI)^{-1}={1\over k}I,(k\ne0)$

對角矩陣：

D= $\begin{bmatrix}d_1&0&\dots&0\\0&d_2&\dots&0\\\vdots&\dots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&d_n\end{bmatrix},(d_1,d_2,...d_n\ne0);\quad D^{-1}=\begin{bmatrix}{1\over d_1}&0&\dots&0\\0&{1\over d_2}&\dots&0\\\vdots&\dots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&{1\over d_n}\end{bmatrix}$

4.2 定理

4.2.1 定理1：設A可逆，則它的逆是唯一的

證明：
設有B和C滿足：AB=BA=I，AC=CA=I
則：B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C

4.2.2 定理2：設A爲n階矩陣，則下列命題等價：

A是可逆的
AX=0只有零解
$1\to2：設A是可逆的，且X是AX=0的解，則：$
$X=IX=(A^{-1}A)X=A^{-1}(AX)=A^{-1}0=0$
所以，AX=0只有零解
A與I行等價
$2\to3：A經過初等行變換到B（行階梯矩陣）$
$BX=0只有零解，B的對角元均非零，否則B的最後一行的元全爲零，則BX=0有非零解（矛盾）$
$則，B經初等行變換後得到的行最簡化矩陣=I$
A可表爲有限個初等矩陣的乘積
$3\to4：由3，可得A可經初等行變換得到I，所以存在初等矩陣E_1,E_2,...E_k，使得E_k,...E_1A=I$
$A=E_1^{-1}....E_k^{-1}I=E_1^{-1}...E_k^{-1}$

4.2.3 推論：設A爲n階矩陣，則AX=b有唯一解的充要條件是A可逆

證明：
充分性：
$AX=b有唯一解：X=A^{-1}b$
必要性：
$設AX=b有唯一解X，但A不可逆$
$A不可逆\rArr AX=0有非零解Z$
$令Y=X+Z$
$AY=A(X+Z)=AX+AZ=b+0=b$
$則Y爲AX=b的解，矛盾$
所以可得A可逆

4.3 性質

設A，B皆爲n階可逆矩陣，數 $\lambda\ne0$ ，則：

$A^{-1}$ 可逆，且 $(A^{-1})^{-1}=A$
$\lambda A$ 可逆，且 $(\lambda A)^{-1}={1\over\lambda}A^{-1}$
$AB$ 可逆，且 $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
$(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AA^{-1}=I$
$A^T$ 可逆，且 $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$
$A^T(A^{-1})^T=(A^{-1}A)^T=I$

https://wenku.baidu.com/view/84eda27b27284b73f24250ce.html?sxts=1591611918853

五、過渡矩陣

過渡矩陣是基與基之間的一個可逆線性變換，在一個空間V下可能存在不同的基。假設有兩組基分別爲A，B。由基A到基B可以表示爲B=AP，過渡矩陣 $P=A^{-1}B$ ，它表示的是基與基之間的關係。