【概率論】五分鐘搞懂概率論聯合密度函數與概率之間的計算

【例題】

設X和Y的聯合密度函數爲：
$f(x,y)=\left\{ \begin{array}{rcl} 2 && {0<x<\infty,0<y<\infty}\\ 0 && 其他區域 \end{array} \right.$
計算（1）P{X>1,Y<1} （2）P{X<Y}

類型題概述

這類給聯合密度函數求概率的題實質上就是二重積分，被積函數是聯合密度函數，積分區域是兩個給出區域的交集：聯合密度函數有意義的區域（即不爲零的區域）與所求概率花括號中表示的區域（沒看懂？沒關係，結合例題秒懂！）

例題解析

來看具體例題：

（1） P{x>1, Y<1}

首先聯合密度函數不爲零的區域是：（爲零的區域沒有意義不考慮）

然後第（1）題的所求概率區域是：x>1, Y<1（P{x>1, Y<1}） 即最後的積分區域D是兩區域的交集——圖中黃色部分

對圖中黃色區域D求聯合密度的二重積分就可以了。（再次：聯合密度爲0的部分不考慮）

(1) P{x>1, Y<1}

$=\displaystyle\iint2e^{-x}e^{-2y}dxdy$

$=\displaystyle\int_1^{+\infty}dx\int_0^12e^{-x}e^{-2y}dy$

$=(1-e^{-2})\displaystyle\int_1^{+\infty}e^{-x}dx$

$=e^{-1} - e^{-3}$

（計算可能存在錯誤。你看看方法就行）

同理，（2）的聯合密度函數沒有變，所以它的被積函數與有效區域（紫色）也沒有變。但求的概率不一樣（P{x<y}）所以二者交疊的黃色區域如圖所示：

P{x<y}

$=\displaystyle\iint2e^{-x}e^{-2y}dxdy$

$=\displaystyle\int_0^{+\infty}dx\int_0^x2e^{-x}e^{-2y}dy$

$=\displaystyle\int_1^{+\infty}e^{-x}-e^{-3x}dx$

$=e^{-1} - e^{-3}$

小結

再來看這句話：這類給聯合密度函數求概率的題實質上就是二重積分，被積函數是聯合密度函數，積分區域是兩個給出區域的交集：聯合密度函數有意義的區域（即不爲零的區域）與所求概率花括號中表示的區域

是不是很easy！恭喜你學會了！

（啊今天居然有人問我概率論的題那我隨便寫一下吧。啊既然寫了不如水一篇博客叭。順帶一提這裏計算結果不一定是正確的因爲博主我實在是口算筆算二重渣） 不重要大家掌握方法就好啦。希望對你有幫助！做錯了請一定要告訴俺一聲。。溜了溜了。。。