凸優化學習筆記 14：SDP Representablity

這一節簡單介紹一個 SDP Representablity（SDP-Rep），這個概念的提出主要是爲了便於判斷某個問題是否可以轉化爲 SDP 優化問題。

定義：集合 $X\subseteq R^n$ 是 SDP-Rep 的，如果他可以表示爲
$X=\{x| \text{there exist }u\in R^k \text{ such that for some } \\A_i,B_j,C\in R^{m\times m}:\sum_i x_iA_i+\sum_j u_jB_j +C \succeq0 \}$
注：它實際上就是下面集合的一個子空間投影
$\{(x,u)|\sum_i x_iA_i+\sum_j u_jB_j +C \succeq0\}$
這個定義實際上說明了集合 $X$ 可以用一個 LMI 表示，因而如果 $X$ 爲優化問題的定義域，則該定義域可以用一個 SDP 約束條件來表示。例如：如果 $X$ 爲 SDP-Rep，則 $\min_{x\in X}c^Tx$ 是一個 SDP 問題。

定義：如果如果函數 $f(x)$ 的 epigraph 是 SDP-Rep 的，那麼函數 $f(x)$ 就是 SDP-Rep
$\text{epi}(f)=\{(x_0,x)|f(x)\le x_0\}$
該定義表明，如果 $f(x)$ 爲 SDP-Rep，則優化問題 $\min_x f(x)$ 是一個 SDP 問題。

對 SDP-Rep 集合進行一些變換之後仍然是 SDP-Rep 的：如果 $X,Y$ 都是 SDP-Rep 的

• Minkowski sum $X+Y$
• intersection $X\cap Y$
• Affine pre-image $A^{-1}(X)$ if $A$ is affine
• Affine map $A(X)$ if $A$ is affine
• Cartesian product $X\times Y=\{(x,y)|x\in X,y\in Y\}$

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凸優化專欄
凸優化學習筆記 1：Convex Sets
凸優化學習筆記 2：超平面分離定理
凸優化學習筆記 3：廣義不等式
凸優化學習筆記 4：Convex Function
凸優化學習筆記 5：保凸變換
凸優化學習筆記 6：共軛函數
凸優化學習筆記 7：擬凸函數 Quasiconvex Function
凸優化學習筆記 8：對數凸函數
凸優化學習筆記 9：廣義凸函數
凸優化學習筆記 10：凸優化問題
凸優化學習筆記 11：對偶原理
凸優化學習筆記 12：KKT條件
凸優化學習筆記 13：KKT條件 & 互補性條件 & 強對偶性
凸優化學習筆記 14：SDP Representablity
凸優化學習筆記 15：梯度方法