動態規劃是用空間換時間的一種方法的抽象。其關鍵是發現子問題和記錄其結果。然後利用這些結果減輕運算量。現在解決01揹包問題。
【問題】一個旅行者有一個最多能用M公斤的揹包，現在有N件物品，
它們的重量分別是W1，W2，...,Wn,
它們的價值分別爲P1,P2,...,Pn.
若每種物品只有一件求旅行者能獲得最大總價值。
輸入格式：
M,N
W1,P1
W2,P2
......
輸出格式：
X
【問題分析】因爲揹包最大容量M未知。所以，我們的程序要從1到M一個一個的試。比如，開始任選N件物品的一個。看對應M的揹包，能不能放進去，如果能放進去，並且還有多的空間，則，多出來的空間裏能放N-1物品中的最大價值。怎麼能保證總選擇是最大價值呢？看下錶。
測試數據：
10,3
3,4
4,5
5,6
表格如下：
c[i][j]數組保存了1,2,3號物品依次選擇後的最大價值.
這個最大價值是怎麼得來的呢?從揹包容量爲0開始,1號物品先試,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,揹包容量爲3則裏面放4.這樣,這一排揹包容量爲4,5,6,....10的時候，最佳方案都是放4.假如1號物品放入揹包.則再看2號物品.當揹包容量爲3的時候，最佳方案還是上一排的最價方案c爲4.而揹包容量爲5的時候，則最佳方案爲自己的重量5.揹包容量爲7的時候，很顯然是5加上一個值了。加誰??很顯然是7-4=3的時候.上一排 c3的最佳方案是4.所以。總的最佳方案是5+4爲9.這樣.一排一排推下去。最右下放的數據就是最大的價值了。(注意第3排的揹包容量爲7的時候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.說明這時候3號物品沒有被選.選的是1,2號物品.所以得9.)
從以上最大價值的構造過程中可以看出。
f(n,m)=max{f(n-1,m),f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}
C語言實現上面算法：
#include<stdio.h>
int c[10][100];/*對應每種情況的最大價值*/
//max
int max(int a,int b){
return a>b?a:b;
}
//m 表示揹包容量，n代表物品個數 動態規劃的方法
int myknapsack(int m,int n,int w[],int p[]){
int i,j;
for(i=0;i<=n;i++){
c[i][0]=0;
}
for(j=0;j<=m;j++){
c[0][j]=0;
}
for(i=1;i<=n;i++){
for(j=1;j<=m;j++){
if(j<w[i]){
c[i][j]=c[i-1][j];
}else{
c[i][j]=max(c[i-1][j],c[i-1][j-w[i]]+p[i]);
}
}
}
return c[n][m];
}
int knapsack(int m,int n,int w[],int p[])
{
int i,j;
for(i=0;i<10;i++)
for(j=0;j<100;j++)
c[i][j]=0;/*初始化數組*/
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=m;j++)
{
if(w[i]<=j) /*如果當前物品的容量小於揹包容量*/
{
if(p[i]+c[i-1][j-w[i]]>c[i-1][j])
/*如果本物品的價值加上揹包剩下的空間能放的物品的價值*/
/*大於上一次選擇的最佳方案則更新c[i][j]*/
c[i][j]=p[i]+c[i-1][j-w[i]];
else
c[i][j]=c[i-1][j];
}
else c[i][j]=c[i-1][j];
}
return(c[n][m]);
}
void main()
{
int m,n;
int i;
printf("請輸入揹包的承重量,物品的總個數：\n");
scanf("%d,%d",&m,&n);
int w[11],p[11];
printf("請輸入每個物品的重量,價值：\n");
for(i=1;i<=n;i++)
scanf("%d,%d",&w[i],&p[i]);
printf("knapsack旅行者揹包能裝的最大總價值爲:%d \n",knapsack(m,n,w,p));
printf("knapsack旅行者揹包能裝的最大總價值爲:%d \n",knapsack(m,n,w,p));
}
代碼測試通過