【數理邏輯開篇】樸實的邏輯學與數學危機

【數理邏輯開篇】樸實的邏輯學與數學危機

 

一、數理邏輯的來源

邏輯學可以看成是哲學的一部分，當然自然科學等都可以看成是從哲學中衍生出來的。而理科生們需要學習的數理邏輯。又是邏輯學在數學上的應用。而最早的邏輯是和語言密不可分的，邏輯和語言的‘接口’（interface）就是依靠語義（meaning）聯繫起來的。西方的哲學研究，歷來是把邏輯和語言作爲一個整體，這個傳統始自於亞里士多德時代。19世紀和20世紀之交，分別出現了數理邏輯和結構主義語言學，自此邏輯和語言的研究開始分家，走上了各自的發展道路。所以不僅是理科生需要學邏輯（數理邏輯），在國內文科哲學類的也要學普通邏輯。

國內的一般離散數學課程，一上來就講了命題邏輯、謂詞邏輯等一階邏輯。但不會告訴你，邏輯與數學，邏輯與語言（自然語言、人工語言、編程語言）、形式化系統/形式化語言、以及形式化推理與代數結構等等它們之間相互之間的關係。甚至學生都不知道爲什麼要學命題邏輯、謂詞邏輯等一階邏輯。如果沒有建立起來知識與知識之間的聯繫，筆者認爲也很難真正的理解一個知識。而本系列的文章，將結合《Logic, Language, and Meaning》邏輯、語言與語義這本書回答上述的問題。讓學習者知道爲什麼要學，學了有什麼用 ？

 

二、邏輯是什麼與邏輯系統的統一性

邏輯無非就是一套描述語言，用來描述任何一個可形式化的公理系統。因此，邏輯心中的第一個白馬王子自然是數學了。倘若自然語言收起天生的那份狂野，被強行納入一個規整漂亮的形式系統，邏輯是很願意做他的女僕的。哲學在這裏像是個飽經滄桑的老人，不疾不徐地述說着邏輯與數學、邏輯與語言學之間過往的情事。

邏輯與數學發展出了演算形式系統、可計算理論、λ演算與函數式編程語言等，爲計算機的發展奠定了基礎。邏輯與語言學方面，不要以爲計算機與語言學沒關係。其中所有現有的編程語言都是形式語言的一種，甚至可以說編程語言編譯器的編譯過程都是和邏輯與語言學息息相關的。還比如現在專用人工智能的自然語言處理。所以筆者認爲有時候學習不要太功利，比如看似邏輯與語言學的研究跟一個計算機軟件專業的學習沒關係。其實都是息息相關的。

雖然有各種各樣豐富多彩的邏輯形式系統，但各種不同的邏輯系統，以及它們的統一性：都是由形式語言所描述句法（syntax）、語義解釋（semantic interpretation）以及邏輯歸結（logical consequence）構成，而這些每一個在各自領域都有着不同的應用。它們之間是存在統一性的。

 

三、數學爲什麼需要邏輯(數理邏輯)以及三次數學危機的啓示

從數學的角度來看，可以分爲連續的數學與離散的數學。比如常見的連續函數等是連續的數字與映射關係，而數列就可以看成是離散的數據對應關係。離散數學 Discrete Mathematics  是關於“離散結構”的數學。離散 Discrete 就是分離、不連續的seperate, discontinuous 的意思。離散數學是研究分立的對象之間所形成的關係。

數學是脫離觀察、直覺和經驗，成爲純粹思維的產物——現代科學以至現代文明的起源。而它爲什麼要脫離觀察、直覺和經驗，怎樣脫離觀察、直覺和經驗的，這就需要邏輯學出發的數理邏輯將其符號化，形式化，形成一個公理系統。爲什麼要脫離觀察、直覺和經驗。而這正是因爲數學危機給我們的啓示：僅靠觀察、直覺和經驗是靠不住的。需要形式化，符號化，演繹推理得到定理和論句。

無理數：第一次數學危機。

• 數學源於人們對計量的需要，計數問題：從結繩法的 1、2、3…… 開始，然後測量問題：長度、面積、體積。出現了整數——最原始的數，源於人們對“相繼出現”和“次序”的感知。乃至到畢達哥拉斯信奉“萬物皆數。Number Rules the Universe。
• 之後數還具有了幾何解釋——數軸，數和直線上的點一一對應。整數是間隔爲單位長度的點，出現了分數p/q是將單位長度q等分，取p個等分。從此以後計數和測量統一在一起了。而整數和分數被稱爲有理數（rational number）
• 直到無理數 √2 的出現。畢達哥拉斯自己痛苦地證明了√2既不是整數，也不是分數——不是有理數。並且它是不能用單位長度來測量的線段 ？人們不情願地把這種“不合理性”的數稱爲無理數（irrational number）。甚至很長時間內人們都無法接受這種不完美的出現。最後人們通過給分數即比例下了新的定義才解決了第一次數學危機。
• 啓示：直覺和經驗不一定靠得住，推理和證明纔是可靠的。
   

                                                    

• 同時在這一期間，古希臘人通過演繹推理建立形成了歐幾里得《幾何原本》的公理體系與亞里士多德的邏輯體系。而埃及、巴比倫、中國、印度等古文明的數學，並沒有經歷過這樣的危機與革命，沒有建立這樣的數學的公理化和邏輯體系。而很可能正是因爲缺少了這些階段，導致其他古文明一直停留在算術上面，以至於沒能演化出近代自然科學。這也可能是李約瑟問題”的一個答案。

無窮：第二次數學危機

• 學過高等數學的同學都知道，連續是高等數學的基礎之一，大學課本第一節就是連續。而無窮小的定義則是連續的基礎。
• 第二次數學危機，對無窮的認識。從芝諾Zeno of Elea 悖論：阿基里斯追不上烏龜與飛矢不動。到微積分的基礎。微分法和積分法都涉及到無窮小，關於無窮小量是不是零 ？與大主教貝克萊諷刺它是“消失了的量的鬼魂”。                                              
                                                
• 危機解決：從波爾查諾Bolzano、阿貝爾Abel、柯西Cauchy、狄裏赫利Dirichlet等人對連續的重定義和極限論開始。到魏爾斯特拉斯、狄德金、康託等人獨立地建立了實數理論，在實數理論上建立極限論的基礎。
• 啓示：再次提醒人們直覺和經驗是不可靠的。無限、無窮都已經超出了人類的經驗範圍。數學分析建立在實數理論的嚴格基礎之上導致數理邏輯和集合論（樸素集合論）的誕生，由此把數學分析的無矛盾性問題歸結爲實數論的無矛盾
  性問題，整個數學看來都具備了嚴格的形式化基礎。

理髮師？第三次數學危機

• 1901 年5月，羅素Russell發現的悖論沉重打擊了集合論和邏輯基礎。理髮師困境和說謊的克利特人，悖論動搖了整個數學的根本。羅素提出類型論，策梅羅Zermelo提出公理化集合論來對樸素集合論進行限制，解決
  悖論問題。
• 第三次數學危機解決以後，整個數學界非常樂觀。希爾伯特Hilbert的形式化思想佔統治地位。數學建立在公理化集合論和數理邏輯兩塊基石之上。基本理論是自然數的算術和實數理論，它們都已經公理化。如果能夠證明這些形式系統的一致性和完全性(完備性)，整個數學基礎就比較牢靠了。
• 於是1928年，希爾伯特提出四個問題，希望能夠把整個數學理論系統形式化，並證明無矛盾。但是到 1930年，哥德爾Godel宣佈了不完全性定理，這是一個具有哲學意義的普適定理（通過哥德爾編碼構造了一個自指的怪圈否定了希爾比特的形式化想法）。人們認識到對整個數學形式化的努力是註定要失敗的。無矛盾的系統不完備，完備的系統卻是存在自相矛盾的。“完美”的數學終結於“自我相關”。如果非要在完備性和一致性二選一，我們只能選擇一致性，承認不完備性的小瑕疵。
• 而自指的核心體現的就是以有限把握無窮。人所能理解的概念和調動的資源都是有限的。以少數的規則包含無限多的事實，從有限的推導抓住無限豐富的未知。自我相關，是一種在有限中包含無限的概念，一種以有限體現無限的過程。在編程上有另外一個術語叫 “遞歸”。大家就很熟悉了。
• 哥德爾不完全性定理指出自我相關恰恰就是限制形式系統的幽靈。不過問題並不是阻止人類前進的巨石，有時正是因爲有了問題，人類才能很好的前進。所以我們大可不必過於悲觀。哈哈 ~ ~

 

一次又一次的數學危機都告訴我們，人類直覺、經驗不一定是可靠的。而邏輯和推理、證明纔是可靠的。這就是爲什麼數學需要邏輯，即數理邏輯。而數理邏輯最核心的就是命題邏輯和謂詞邏輯等一階邏輯了。有了它們你就可以建立形式系統，通過演繹推理構建理論和認知大廈了。