Chomp 遊戲與偏序關係

Chomp 遊戲與偏序關係

一、遊戲介紹

Chomp是一個雙人遊戲，有 m X n 塊曲奇餅排成一個矩形格狀，稱作棋盤。兩個玩家輪流自選喫掉一塊還剩下的曲奇餅，而且要把它右邊和下面所有的曲奇餅都被取走（如果存在）。如果不喫左上角的那一塊曲奇餅（位置記爲(1, 1)）就沒有其他選擇的玩家爲失敗。

下圖展示了一個棋盤爲 4 X 6 的Chomp遊戲的完整過程：

• (a)是初始情況；
• (b)表示玩家一喫掉位置爲(3, 3)的曲奇餅；
• (c)表示玩家二喫掉位置爲(1, 4)的曲奇餅；
• (d)表示玩家一喫掉位置爲(1, 2)的曲奇餅；
• (e)表示玩家二喫掉位置爲(2, 1)的曲奇餅；
• (f)表示玩家一在遊戲中落敗。

 

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分析這個遊戲的“策略”之前先“插播”一個重要結果——

 

策梅洛定理（Zermelo's theorem）

1913年，恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo）在論文《Über eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels》中證明了策梅洛定理（Zermelo's theorem），定理表明在二人蔘與的遊戲中，如果滿足

• 遊戲步驟有限；
• 信息完備（可以理解爲參與者知道所有與遊戲相關的信息以及本次遊戲中已發生所有步驟和結果）；
• 不會產生平局；
• 確定性的（即運氣因素並不牽涉在遊戲中），

則或者先行一方有必勝策略，或者後行一方有必勝策略。

 

策梅洛定理的另一種表述是：在二人蔘與的遊戲中，如果滿足遊戲步驟有限、信息完備、每一步驟都是確定性，則或者先行一方有必勝策略，或者先行一方有必和策略，或者後行一方有必勝策略。

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下面證明：除去 1 X 1 大小的棋盤外，其他大小的棋盤，先手存在必勝策略。

證明：

假設棋盤規模爲 m X n 。

首先，遊戲不可能產生平局。

其次，由於每一步移動至少喫掉1塊曲奇餅乾，因此不超過 mn 步後遊戲必定結束。

由策梅洛定理，這個確定性二人有限遊戲信息完備，且不存在平局，則或者先行一方有必勝策略，或者後行一方有必勝策略。

如果後手有必勝策略，使得無論先手第一次取哪個石子，後手都能獲得最後的勝利。

那麼現在假設先手取最右下角的石子 (m, n) ，接下來後手可以取某塊曲奇 (a, b) 使得自己進入必勝的局面。

事實上，先手在第一次取的時候就可以取曲奇  (a, b) ，之後完全模仿後手的必勝步驟，迫使後手失敗。

於是產生矛盾。因此不存在後手必勝策略，先手存在必勝策略。

 

注意：這個證明是非構造性存在性證明，也即只是證明了先手必勝策略的存在性，但沒有構造出具體必勝策略。

雖然對於一些特殊的情況，比如棋盤是正方形、棋盤只有兩行，可以找到必勝策略；但一般情況，還沒有人能具體給出Chomp的一般性必勝策略。

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(Ⅰ) 棋盤只有一行，但是多於一格。先手只要只剩下左上角的一塊即可。

(Ⅱ) 棋盤是正方形，但是多於一格。先手只要只剩下左上角的一塊、最上一行、最左一列即可。

之後，無論後手怎麼做，先手只要對稱地模仿就可以。

(Ⅲ) 棋盤只有兩行，就先拿去右下角的一塊。

之後 根據後手的選擇，主要有三種可能，總體來說就是保持上行比下行曲奇餅多一，或者乾脆對方取走下面一行全部曲奇餅。（其實下圖中後兩種可以合併）

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Chomp遊戲的變形：

(a) 三維Chomp遊戲。將曲奇排成 p x q x r 的立方體，兩個玩家輪流自選喫掉一塊剩下的曲奇餅，若取走的曲奇餅爲 (i, j, k)，則也要取走所有滿足 p  a   i ，  q  b   j，  r   c   k的曲奇餅（如果存在）。

可以類似地將Chomp遊戲擴展到任意維，並可以類似地證明，先手都存在必勝策略。

(b) 約數遊戲。給定一個大於1的自然數 N，兩個遊戲參與者輪流選擇 N 的大於1的正約數，但不可選擇之前被選擇過的因子的倍數（例如 N = 72，有一方之前選擇了4，則之後任一方都不可以再選擇36）。

(c) 刪數遊戲：給定整數集合 {1,2,3，..., n }，兩個人輪流從中選擇一個數字，並將它和它的約數從集合中刪除，刪除最後一個數的人獲勝。

類似Chomp遊戲，得到結論就是無論 n 是幾，都是先手必勝。

(d) 有限偏序集上的Chomp遊戲。

Chomp遊戲可以推廣到在任意一個存在最小元 a 的有限偏序集 (S,  )上：兩名遊戲者輪流選擇S中的元素 x，移走 x 以及所有 S 中比 x 大的元素。失敗者是被迫選擇最小元 a ​​​​​​​的玩家。

如果 (S,  ) 有最大元素 b ，那麼在偏序集上的 Chomp 遊戲存在一個獲勝策略。

而且

1. 傳統Chomp遊戲與偏序集 (S, | ) 上的Chomp遊戲相同，其中 S 是  的所有正因子組成的集合，這裏 p 和 q 是兩個不同的素數。
2. 假設 (A,  ) 和 (B ,  ) 都是全序集，證明：傳統Chomp遊戲與積偏序集 (A x B,  ) 上的Chomp遊戲相同。