離散數學之集合論 【下】

離散數學之集合論 【下】

一、等價關係與劃分

等價關係(equivalent relation)定義
〉 等價關係R定義爲：
〉 A上的自反、對稱、傳遞的二元關係
〉 xRx；xRy→yRx；xRy∧yRz→xRz
〉 例子：
〉 三角形的相似、全等關係；
〉 學生的舍友關係；
〉 人的親戚關係（朋友關係？同學關係？）
〉 整數集上的“模k相等”關係：
〉

等價類（equivalent class）
〉 設R爲A上的等價關係，
〉 對於每個a∈A，a的等價類記做 (簡記[a])，定義爲：={x|x∈A ∧ xRa}，
〉 a稱作  的代表元素
〉 等價類是A的子集，每個代表元素確定一個等價類
〉 例：“模2相等”，有2個等價類：[0]和[1]
〉 相等關係有 |A| 個不同的等價類，每個等價類都是單元素集合。
〉 全關係 A×A 只有一個等價類 A

等價類的性質
〉 A 上的任何一個等價關係 R，任何一個元素 a，
〉 等價類  都不會是空集，因爲總有 aRa（等價關係的自反性）
〉 同一個等價類可能有不同的代表元素或者另一種說法：不同的元素可能有相同的等價類

等價類定理
〉 R是A上的等價關係，則任意的a,b∈A，aRb 當且僅當 =
〉 設aRb，又x∈[a]，那麼xRa，R的傳遞性，有xRb，所以x∈[b]
〉 同理 x∈[b] 推出 x∈[a]，所以[a]=[b]
〉 設[a]=[b]，a∈[a]，又有a∈[b]，所以 aRb

R是A上的等價關係，則任意的a,b∈A，要麼[a]=[b]，要麼[a]∩[b]= 
 

劃分(partitions)的定義
〉 劃分是滿足下列條件的集合A的子集族 π
〉 ∀B(B∈π→B≠)（不空）
〉 ∪π=A（不漏）
〉 ∀B∀B'(B∈π∧B'∈π∧B≠B'→B∩B'=)（不交）
〉 π中的元素稱爲劃分的單元
〉 特別約定A=時只有劃分

劃分的例子
〉 A={1,2,3,4}
〉 π1={{1},{2},{3},{4}}
〉 π2={{1,3},{2,4}}
〉 π3={{1,3,4},{2}}
〉 π4={{1,2,3,4}
〉 {{1,2},{4}}?
〉 {{1,2,3},{2,4}}?

等價關係與劃分
〉 很明顯，A上的等價關係R的所有等價類的集合，構成A的一個劃分，稱作等價關係R對應的劃分：
〉 {  |x∈A}，所有等價類的集合是一個劃分。
〉 反過來，集合A的一個劃分π，也對應A上的一個等價關係 R，稱作劃分 π 對應的等價關係
〉 R={<x,y>| ∃B(B∈π∧x∈B∧y∈B)}
〉 R== ∪{B×B|B∈π}

等價關係和劃分的一一對應
〉 對應π的等價關係爲R，當且僅當 R對應的劃分爲π
〉 證明必要性，設對應π的等價關係爲R，R對應的劃分爲π'，要證明 π=π'
〉 設任意a∈A，包含a的B∈π，B'∈π'
〉 b∈BaRbb∈b∈B'
〉 左半部：π對應的等價關係是R
〉 右半部：R對應的劃分是π'
〉 所以B=B'，由於a是任意的，所以π=π'

〉 證明充分性，設R對應的劃分爲π，π所對應的等價關係爲R'，要證明R=R'
〉 取A中任意元素a,b
〉 aRbb∈
〉 ∃B(B∈π∧=B∧b∈B)（R對應π）
〉 ∃B(B∈π∧a∈B∧b∈B)
〉 aR'b（π對應等價關係R'）
〉 所以R=R'

劃分之間的關係
〉 劃分的“粗細”概念
〉 自然的，|π|越大，越“細”
〉 兩個劃分之間如何比較粗細？
〉 “細於”關係的定義:  如果π1的每一個單元都包含於π2的某個單元，稱π1細於π2，表示爲 π1≤π2
〉 如果π1≤π2而且 π1≠π2 ，則表示爲 π1＜π2，稱作“真細於”             

 

劃分的“細於”和等價關係的“子集” 的對應關係：π1，π2 分別是等價關係R1，R2對應的劃分，那麼R1  R2 ↔ π1≤π2
〉 定理說明，越“小”（包含二元組較少）的等價關係對應越細的劃分；
〉 最小的等價關係是 相等關係 ，對應最細的劃分：每個單元僅含一個元素。
〉 最大的等價關係是全關係，對應最粗的劃分：僅有一個單元
〉 如模2相等關係、模 3 相等關係和模6相等關係三個等價關係中
模2相等關係對應的劃分包含2個單元
模3相等關係對應的劃分包含3個單元
模6相等關係對應的劃分包含6個單元
模6的劃分細於模3的劃分：  
模6的劃分細於模2的劃分：  

劃分的運算
〉 對應於等價關係的並、交運算，劃分也有相應的運算。
〉 積劃分運算：
〉 劃分π1和π2的積劃分π1·π2是滿足如下條件的劃分：
〉 π1·π2細於π1和π2
〉 如果某個劃分π細於π1和π2，則π一定細於 π1·π2
〉 也就是說，π1·π2是細於π1和π2的最粗劃分

例如下：

                                       

和劃分對應於等價關係的並運算 ？
〉 否！等價關係中的傳遞性質對於並運算不封閉
〉 針對傳遞性質擴展並運算結果，定義：二元關係R的傳遞閉包 t(R)
〉 t(R) 是傳遞的，R  t(R)
〉 同時，對於A上的任意一個具有傳遞性質且包含R的關係R'，t(R)R'

〉 和劃分對應於等價關係並運算結果的傳遞閉包
〉 R1和R2分別是π1和π2對應的等價關係
〉 則π1+π2是等價關係t(R1∪R2)對應的劃分

商集 (quotient sets)
〉 R 是 A 上 的 等 價 關 系 ， 稱 A 的 劃 分 {  |a∈A}爲A的R商集，記做 A/R
〉 每一個劃分π均爲A上的一個商集，相應的商集的和、積對應於劃分的和與積。
〉 A/(R1∩R2 )=A/R1·A/R2
〉 A/t(R1∪R2)=A/R1+A/R2

 

二、序關係

序關係R定義爲：
〉 集合A上的自反、反對稱、傳遞的二元關係：
〉 xRx； xRy∧yRx→x=y； xRy∧yRz→xRz
〉 存在序關係R的集合A稱作有序集（ordered set）
〉 用二元有序組 <A, R> 表示，一般的有序集表示成 <A, ≤>

序關係例子
〉 實數集R上的“小於或等於”關係是序關係，有序集記做<R, ≤>
〉 集合A的冪集ρ(A)上的“包含關係”是序關係，有序集記做<ρ(A),  >
〉 正整數集合I+上的“整除”關係是序關係，有序集記做<I+, |>

哈斯圖（Hasse graph）

〉 對序關係關係圖的一種簡化畫法 〉 由於序關係自反，各結點都有環，省去； 〉 由於序關係反對稱且傳遞，所以關係圖中任 何兩個不同的結點直接不會有雙向的邊或通 路，所以省去邊的箭頭，把向上的方向定爲 箭頭方向。 〉 由於序關係傳遞，所以省去所有推定的邊， 即a≤b,b≤c有a≤c，省去ac邊

有序集集合元素中的排序
〉 a≤b，稱a先於或等於b；a小於或等於b；
〉 如果¬(a≤b)，則稱a,b不可比較或者不可排序。

序關係中特殊元素

最大（小）元、極大（小）元
〉 <A, ≤>爲有序集，B  A
〉 B的最小元b：b∈B∧∀x(x∈B→b≤x)
〉 B的最大元b：b∈B∧∀x(x∈B→x≤b)
〉 B的極小元b：
〉 b∈B∧¬∃x(x∈B∧x≠b∧x≤b)
〉 B的極大元b：
〉 b∈B∧¬∃x(x∈B∧x≠b∧b≤x)
〉 極大和最大的差別在於B中是否包含不可比較的元素

有序集：A={a,b,c,d,e,f,g,h}

〉 B={a,b,c,f} 〉 最大元f，最小元a 〉 極大元f，極小元a 〉 B={a,b,c,d} 〉 沒有最大元，最小元a 〉 極大元b,c,d，極小元a 〉 B={b,c,d,h} 〉 最大元h，沒有最小元 〉 極大元h，極小元b,c,d

關於最大（小）元，極大（小）元的定理
〉 B的最大（小）元必爲B的極大（小）元
〉 如果B有最大（小）元，則它是唯一的
〉 如果B是有限集，則B的極大（小）元恆存在
〉 最大（小）元未必存在，存在則唯一。不包含不可比較的元素的有序集必然有最大（小）元
〉 極大（小）元對有限集必然存在，未必唯一
存在最大（小）元的有限有序集，其極大（小）元就等於最大（小）元

上（下）界，上（下）確界
〉 <A, ≤>爲有序集，B  A
〉 B的上界a：a∈A∧∀x(x∈B→x≤a)
〉 B的下界a：a∈A∧∀x(x∈B→a≤x)
〉 B的上確界a：a是B的所有上界的集合最小元
〉 B的下確界a：a是B的所有下界的集合最大元

有序集：A={a,b,c,d,e,f,g,h}
 

〉 B={b,c,d} 〉 上界h，下界a 〉 上確界h，下確界a 〉 B={c,d} 〉 上界{g,h}，下界{a} 〉 上確界g，下確界a 〉 B={d,g} 〉 上界{g,h}，下界{d,a} 〉 上確界g，下確界d

關於上（下）界，上（下）確界的定理
〉 如果b是B的最大（小）元，則b是B的上（下）確界
〉 如果b是B的上（下）界，而且b∈B，則b一定是B的最大（小）元
〉 如果B有上（下）確界，則上（下）確界是唯一的
〉 上下界未必存在，存在時也未必唯一
〉 有了上（下）界，也未必存在上（下）確界

鏈和反鏈
 

〉 鏈（chain） 〉 如果子集B中的任意兩個元素都是可以比較的 〉 ∀x∀y(x,y∈B→x≤y∨y≤x) 〉如右圖整除關係中的 {2, 6，12, 36} 就是一個鏈還      是其中的最長鏈 〉 反鏈（anti-chain） 〉 子集B中的任意兩個元素都是不可比較的 〉 ∀x∀y(x,y∈B∧x≠y→ ¬(x≤y)∧¬(y≤x)) 〉 如：右圖中的 { 單個元素 } ，{2, 6}，{24,36} 同         一 級的都是反鏈，不可比較的整除關係。  〉 |B| 稱作是鏈或者反鏈的長度

鏈和反鏈定理
〉 <A, ≤ > 是有限的有序集，B  A
〉 如果A中最長的鏈長度爲n
〉 則A存在一個劃分，劃分有n個單元，每個單元都是一反鏈
 

半序關係（偏序關係）（Partially ordered relation）
〉 序關係R爲集合A上的反自反、反對稱、傳遞的二元關係
〉 ¬(xRx), xRy∧yRx→x=y, xRy∧yRz→xRz
〉 將<A,R>稱作爲半序集
〉 實數集合上的“大於”關係
〉 公司內部職員的“下屬”關係
 

三、函數

函數是最重要的數學工具之一
〉 我們在不同階段學習的函數概念
〉 因變量：隨自變量取值而變化； y=x+5：算術表達式
〉 映射：從定義域到值域的對應關係。y=f(x)：更爲普遍的對應

〉 集合論中的函數
〉 將函數看作一種特殊的關係
〉 歸結爲集合，歸結爲關係進行研究
〉 我們介紹離散對象之間的函數關係
函數(function)定義
〉 如果X到Y的二元關係f   X×Y，對於每個 x∈X，都有唯一的 y∈Y，使得<x,y>∈f，則稱f爲X到Y的函數，記做：f: X→Y
〉 當X=X1×…×Xn時，稱f爲n元函數。
〉 函 數 也 稱 作 映 射 (mapping) 或 變 換 (transformation)
〉 函數是特殊的關係：
① 前域和定義域重合；
② 單值性：<x,y>∈f∧<x,y'>∈f →y=y'

函數特殊表示法
〉 由於函數的單值性。表示爲：y=f(x)， 稱x爲自變元，y爲函數在x處的值
〉 y爲x的像點，x爲y的源點（基於映射）
〉 不滿足單值性的關係不適合這種表示法
〉 <x,y1>和<x,y2>都屬於關係R，y1≠y2，則不能用 y1=R(x) 這樣的表示法，否則y2=R(x)無法區分

函數的例子
〉 任意集合A上的相等關係EA爲一函數，稱爲恆等函數(identical function)，也表示爲 
〉 自然數集合上的二倍關係爲一函數，f:N→N，y=2x
〉 正整數集合上的整除關係不是函數，因爲2|4，2|8，不滿足單值性
〉 X≠時，空關係不是函數，當X＝時，空關係是函數，稱作空函數
〉 自然數加法Add: N×N→N，y=x1+x2，爲自然數集上的二元函數

函數的規定方法
〉 列表法: 將函數包含的所有序偶排成一個表
〉 圖表法: 用平面直角座標系上的點集合表示函數
〉 解析法: 採用算術表達式或者其它命名式表示函數
〉 遞歸定義函數

歸納定義和遞歸定義
〉 作爲關係和集合，函數也可以採用歸納定義方法來進行定義：
〉 函數初值定義
〉 函數調用自身部分的定義

〉 已經做過一些介紹
〉 如字符串長度的函數
〉 len(空串)=0；
〉 len(A)=len(substr(A,2))+1

函數的相等和包含
〉 f:A→B，g:C→D
〉 如果A=C，B=D，且對每個x∈A，都有：
〉 f(x)=g(x)，則函數f等於g，記爲f=g
〉 如果A  C，B=D，且對每個x∈A，都有：
〉 f(x)=g(x)，則函數f包含於g，記爲f  g

函數的個數
〉 如果|X|=m，|Y|=n，則{f|f:X→Y}的基數爲，共有個X到Y的函數
〉 從n個元素當中取m個允許重複的排列，共有個
〉 X到Y的全體函數集合表示爲

定義域子集的映象(image)
〉 f:X→Y，A  X，將f'(A)稱作A的映象定義爲：
〉 f'(A)={y| ∃x(x∈A∧y=f(x))}
〉 映象f'是ρ(X)到ρ(Y)的函數
〉 f'()=;  f'(X)=Ran(f);  f'({x})={f(x)}(x∈A)

映象函數的特性
〉 設f:X→Y，對任意AX, BX
〉 f'(A∪B) = f'(A)∪f'(B)
〉 f'(A∩B) f'(A) ∩ f'(B)
〉 f'(A) - f'(B) f'(A－B)
〉 存在x1≠x2但是f(x1)=f(x2)

函數的合成
〉 設f:X→Y, g:Y→Z，那麼作爲關係的合成fg是一個X到Z的函數
〉 先證明 Dom(f  g)=X
〉 對任意x∈X，有y∈Y，使<x,y>∈f；對這個y，有z∈Z，使<y,z>∈g，因此
有<x,z>∈f  g，所以x∈Dom(f  g)
〉 再證明f  g的單值性
〉 設對x有z1,z2，使<x,z1>∈fg,<x,z2>∈f  g
〉 也就是有y1,y2，使<x,y1>∈f,<y1,z1>∈g, <x,y2>∈f, <y2,z2>∈g
〉 因爲f是函數，所以y1=y2，又g是函數，所以z1=z2

函數合成的習慣記法
〉 習慣上f(x)和g(x)的合成，記做g(f(x))
〉 所以函數合成也會按照關係合成的相反順序記做g  f

函數合成運算的性質
〉 函數合成滿足結合律，不滿足交換律
〉 函數f的n次迭代：
〉 f  = f = f
〉 對於=f，稱作等冪函數

• 特殊函數類

單射函數(injection)
〉 如果任意x1≠x2有f(x1)≠f(x2)，也稱作一對一的函數
〉 如果 f和g 都是單射函數，則其合成g  f也是單射函數
〉 x1≠x2 f(x1)≠f(x2)  g(f(x1))≠g(f(x2))
〉 如果g  f是單射函數，則f是單射函數
〉 反證法，如果f不是單射則g  f也不會是單射

滿射函數(surjection)
〉 如果任意y都有x使得y=f(x)，即Ran(f)=Y，也稱作“映上的”函數
〉 如果f和g都是滿射函數，則其合成g  f也是滿射函數
〉 如果g  f是滿射函數，則g是滿射函數
〉 反證法，如果g不是滿射函數， g  f也不會是滿射函數

雙射函數(bijection)
〉 如果f既是單射函數又是滿射函數，稱作雙射函數。也稱作“一一對應”
〉 如果f和g都是雙射函數，則其合成g  f也是雙射函數
〉 如果g  f是雙射函數，則f是單射函數，g是滿射函數，容易由前面的定理證明。

逆函數(inverse function)
〉 函數作爲關係，可以求逆，但是f~是否函數？
〉 如果f不是單射，則f~無法滿足單值性
〉 如果f不是滿射，則Dom(f~)≠Y
〉 所以只有雙射函數存在逆函數
〉 雙射函數f的逆函數記做，也是雙射函數，稱f是可逆的

逆函數的性質
〉 (f-1)-1=f
〉 f-1  f=EX
〉 f  f-1=EY
〉 兩個可逆函數f,g的合成： (g  f)-1=f-1  g-1

逆函數
〉 對於非雙射函數，也存在類似逆函數的對應函數
〉 左逆函數(left inverse)
〉 如果g  f=EX，則稱g爲f的左逆函數，f有左逆函數當且僅當f是單射函數
〉 右逆函數(right inverse)
〉 如果f  g=EY，則稱g爲f的右逆函數，f 有右逆函數當且僅當f是滿射函數
〉 f 可逆當且僅當f既有左逆函數，又有右逆函數，而且左逆函數和右逆函數相等