離散數學之集合論【上】
一、集合基本概念
集合(set)：做爲整體識別的、確定的、互相區別的一些對象的總體。
〉 整體識別：不再分割
〉 確定：屬於或者不屬於整體
〉 互相區別：各異的對象
〉 集合的例子
- 北京大學的全體學生：組成對象是學生全體自然數0，1，2，……：組成對象的是各個自然數。
- 方程x2+x+1=0的根：如果討論複數，則組成對象是兩個複數如果討論實數，則是一個沒有任何組成對象的集合
成員：
〉 組成集合的對象稱爲成員(member)或者元素(element)
元素可以是任何具體或者抽象的事物，元素也可以是集合
〉 集合的記號“{,}”。A={1,2,3}，S={1,{2,3},10}，N={ }
〉 元素和集合的隸屬關係
當對象a是集合A的成員時，稱a屬於A，記做“a∈A”
當對象a不是集合A的成員時，稱a不屬於A，記做 “¬(a∈A)”或者“a∉A
規定集合的方式：列舉法、描述法、歸納法：
〉 列舉法：將所有元素列舉 A={1,2,3} B={a1,a2,…,an}
〉 描述法：將集合中元素的特徵用謂詞公式描述
A={x|P(x)}或者A={x:P(x)}，表示x∈A當且僅當P(x)
〉 歸納法：後面會專門說明，並且我們已經用歸納法定義了數理邏輯中命題公式、個體項等
例如：
〉 {0,1}={x|x=0∨x=1}
〉 N={0,1,2,3,…}={x|x是自然數}
〉 I+={1,2,3,…}={x|x是正整數}
〉 Nn={0,1,2,…,n-1}={x|x∈N∧0≤x＜n} ，即前n個自然數集合的集合 ={{0},{0,1},{0,1,2},…} ={x|x=Nn∧n∈I+} ={Nn|n∈I+}
空集
沒有任何元素的特定集合稱爲空集，記做 ø，ø={ }={x|x≠x}
〉 有限集(finite sets)
空集和只含有限多個元素的集合稱作有限集。否則，稱作無限集(infinite sets)
〉 基數(cardinality)
有限集合中成員的個數稱作集合的基數（無限集合的基數定義更爲複雜）集合A的基數記做 |A|
集合論的三大基本原理
〉 外延公理、概括公理、正規公理：規定了集合概念的意義
外延公理(extensionality axiom)： 兩個集合A和B相等當且僅當它們具有相同的元素。
〉 A=B ↔ ∀x(x∈A↔x∈B)
〉 {0,1}={1,0}={x|x=0∨x=1}
〉 說明集合元素的無序性，以及集合表示形式的不唯一性。
概括公理(comprehension axiom)
〉 對於任意個體域U，任一謂詞公式P都確定一個以該域中的對象爲元素的集合S。
〉 S={x|x∈U∧P(x)}
〉 規定了集合成員的確定性
〉 對空集來說：P(x)爲永假式
正規公理(regularity axiom)
〉 不存在集合A1, A2, A3, … 使得： …∈A3∈A2∈A1
〉 直觀來說就是集合的有限可分，個體域的元素是“基本粒子”
〉 正規公理確立了元素和集合的不同層次性，集合不能是自己的成員。
〉 排除了A={A}這樣的“病態”集合。而羅素構造悖論便是這種具有自指意向的集合。
子集合
〉 集合A稱作集合B的子集合，如果A的每一個元素都是B的元素
〉 ∀x(x∈A→x∈B)
〉 A是B的子集，記做A⊆B
〉 集合的兩個基本關係：隸屬和包含
例如：
〉 {a,b} ⊆ {a,b,c,d}
〉 {a,b,c} ⊆ {a,b,c}
〉 a ⊆ {a,b,c}不成立，只有a∈{a,b,c}
〉 {a,b} ⊆ {{a,b},{c,d}}：false
〉 {a,b} ∈{{a,b},{c,d}}：true
〉 有時候隸屬和包含關係會同時成立，如 {1} 和 {1,{1}} 之間的關係。
子集合的性質
〉 定理1：對於任意集合A和B，A=B當且僅當 A ⊆ B 且 B ⊆ A
〉 特別的，對於任意集合A，有A ⊆ A
〉 定理2：設A,B,C爲任意集合，若
〉 (A ⊆ B)∧(B ⊆ C)，則有A ⊆C
〉 利用邏輯蘊涵式 I6：(A→B)∧(B→C)╞A→C 來證明
〉 定理3：對於任意集合A，A ⊆ U
〉 因爲x∈U是恆真的，所以 ∀x(x∈A→x∈U) 也是恆真的
〉定理4：對於任何集合A，ø ⊆ A
〉 因爲x∈ø是恆假的，所以∀x(x∈ø→x∈A)是恆真的
〉 定理5：空集是唯一的
〉 假設有兩個空集ø1和ø2，
〉 根據定理4，有ø1⊆ø2，而且ø2⊆ø1，再根據定理 1， ø1 = ø2
〉 定理6：設 A 爲一有限集合，|A|=n，那麼A的子集個數爲
〉 A的子集有：ø：
包含 A 中所有元素的子集：A本身， 
〉 總和： 
〉 例：{1,2}的子集：ø, {1}, {2}, {1,2}
真子集(proper subset)
〉 如果A ⊆ B且A≠B，記做：A ⊂ B
〉 空集ø是所有非空集合的真子集
〉 判斷題：
ø⊆ø，正確，空集是任何集合的子集。
ø∈ø，不對，空集中沒有任何元素。
ø⊆ {ø} ，正確
ø∈{ø}，正確
如果A∈B且B∈C，那麼A∈C，不對。比如 ø∈{ø} ，{ø} ∈ {{ø}}，但 ø 不屬於 {{ø}} 。
二、集合運算
〉 集合運算指以集合作爲運算對象，結果還是集合的運算
〉 並運算：∪ (union) 定義：A∪B={x|x∈A∨x∈B} ，使用隸屬符號和謂詞聯結詞定義。
〉 {1,2}∪{1,3,4}={1,2,3,4}
〉 交運算：∩ (intersection) 定義：A∩B={x|x∈A∧x∈B}
〉 {1,2}∩{2,3}={2}
〉 差運算－(difference)
〉 定義：A－B={x|x∈A∧x∉B}
〉 {1,2,3}－{2,3,4}={1}
〉 補運算 ~ (complement)
〉 定義：A~=U－A={x|x∉A}
〉 {0,1,2,3,4}~ ={5,6,7,…}（U=N）
交和並運算性質
〉 A∪A=A；A∩A=A
〉 交換律：A∪B=B∪A；A∩B=B∩A
〉 結合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
〉 A∪ø=A；A∪U=U；A∩ø=ø；A∩U=A
〉 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
〉 A∩(A∪B)=A，A∪(A∩B)=A
差和補運算性質
〉 A-A=ø，A-ø=A，A-U=ø
〉 A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
〉 A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)
〉 利用德摩根律得證
〉 A~~=A，U~=ø，ø~=U
〉 A∪A~=U，A∩A~=ø
〉 (A∪B)~=A~∩B~，(A∩B)~=A~∪B~
〉 A-B=A∩B~
集合運算和子集關係
〉 A ⊆ A∪B
〉 A∩B ⊆ A
〉 A－B ⊆ A
〉 A ⊆ B╞╡A-B=ø ╞╡A∪B=B╞╡A∩B=A
〉 如果A ⊆ B，則有B~ ⊆ A~
對 於 任 意 集 合 A, B， 如 果 有 A ∪ B=U 且 A∩B=ø，那麼A=B~
冪集(power set)運算
〉 對任意集合A，ρ(A)稱作A的冪集，定義爲：ρ(A)={x|x⊆A}
〉 A的所有子集作爲元素構成的集合(族)
〉 因爲ø ⊆ A，A ⊆ A；所以必有ø∈ρ(A)，A∈ρ(A)
〉 例：ρ({1,2})={ø,{1},{2},{1,2}}
〉 冪集的基數：|ρ(A)|=
冪集的性質
〉 設A,B爲任意集合：
〉 A⊆B當且僅當ρ(A) ⊆ ρ(B)
- 集合族及運算
集合族(collections) : 如果集合C中的每個元素都是集合，稱C爲集合族
〉 集合族的標誌集(index set)
如果集合族C可以表示爲某種下標的形式 C={
那麼這些下標組成的集合稱作集合族C的標誌集
〉 標誌集可以是自然數、某些連續符號
集合族和標誌集例子
〉 C={{0},{0,1},{0,1,2},…}是集合族，但是沒有標誌集
〉 如果定義Nn={0,1,2,…,n-1}，那麼C就可以表示爲{Nn|n∈
〉 集合族C={
〉 A的冪集 ρ(A) 是一個集合族
集合族的運算
〉 廣義並：集合族中所有集合的並集 ∪C={x|∃S(S∈C∧x∈S)}
〉 廣義交：集合族中所有集合的交集 ∩C={x|∀S(S∈C→x∈S)}
〉 如果C恰含兩個集合A,B，則∪C=A∪B，∩C=A∩B
〉 有標誌集的表示方法：C={
集合族運算例子
〉 C={{0},{0,1},{0,1,2},…} ，∪C=N ，∩C={0}
〉 C={{1},{1,2},{1,3,5}}，∪C={1,2,3,5}，∩C={1}
集合族運算性質
〉 任意集合A和集合族C，有
〉 A∩(∪C)=∪{A∩S:S∈C}
〉 A∪(∩C)=∩{A∪S:S∈C}
〉 A－(∩C)= ∪{A－S:S∈C}
〉 A－(∪C)= ∩{A－S:S∈C}
〉 (∪C)~= ∩{S~:S∈C}
〉 (∩C)~= ∪{S~:S∈C}
〉 A－(∪C)= ∩{A－S:S∈C}
〉 對任意集合A，∪ρ(A)=A
三、歸納定義
〉 集合定義的另兩種方式：列舉法、描述法
〉 歸納定義 (inductive definition)
基礎條款：規定某些元素爲待定義集合成員，集合其它元素可以從基本元素出發逐步確定
歸納條款：規定由已確定的集合元素去進一步確定其它元素的規則
終極條款：規定待定義集合只含有基礎條款和歸納條款所確定的成員
〉 基礎條款和歸納條款稱作“完備性條款”，必須保證毫無遺漏產生集合中所有成員
〉 終極條款又稱“純粹性條款”，保證集合中僅包含滿足完備性條款的那些對象
- 歸納定義例子：“聖誕節”
〉 基礎條款：耶穌基督降生的那天是聖誕節
〉 歸納條款：如果某天是聖誕節，則這一天後的第365天，也是聖誕節（不考慮閏年）
〉 終極條款：除了上面兩條所包括的日子，其它日子都不是聖誕節
- 歸納定義例子：偶數集合
〉 個體域U爲自然數集，定義偶數集E
〉 基礎條款：0∈E
〉 歸納條款：若x∈E，則x+2∈E
〉 終極條款：除了有限次使用上述條款確定的元素以外，E中沒有別的元素
- 歸納定義例子：程序
〉 基礎條款： v:=e是程序（其中v是變量，e是算術表達式）
〉 歸納條款：
若p1,p2是程序，則p1;p2也是程序；
若p1,p2是程序，則if c then p1 else p2 end if也是程序（其中c是條件表達式）；
若p是程序，則while c do p end while也是程序；
〉 終極條款（略）
注意：上述基礎條款是賦值操作，歸納條款中分別對應了程序的順序結構、選擇結構、和循環結構。
- 自然數定義
〉 數學中“數”是最基本的原始概念，在集合論創立之後，採用集合來定義自然數，
〉 使得數學建立在更爲簡單的概念“集合”基礎之上
〉 在算術公理化系統中，皮亞諾(Peano)的5大公理刻畫了自然數概念
P1：至少有一個對象是自然數，記做 0；
P2：如果n是自然數，那麼n必定恰有一個直接後繼，記做n'
P3：0不是任何自然數的直接後繼
P4：如果自然數m,n的直接後繼m',n'相同，那麼m=n
P5：沒有不滿足上述條件的對象是自然數
- 利用集合定義自然數
利用集合定義自然數要考慮的幾個問題
〉 找一個最簡單的集合作爲 0
〉 ø
〉 找一種集合運算定義“直接後繼”
〉 ∪? ∩？－？
〉 這種集合運算（直接後繼對應的集合運算）不可能得到0對應的那個集合
〉ø
〉 可以通過集合關係反應自然數的順序性質（表示序關係）
〉 ⊆、
- 自然數集 N 的歸納定義
〉 基礎條款：ø ∈N
〉 歸納條款：如果x∈N，則x'=x∪{x} ∈N
〉 終極條款（略）
〉 自然數集的列舉定義： {ø, {ø}, {ø,{ø}}, {ø, {ø}, {ø,{ø}}}, …}，即實際上有：1={0}, 2={0,1}, 3={0,1,2}
〉 0∈1∈2∈3…同時也有0∈3
〉 還有0⊆1⊆2⊆3…， 1⊆2，4⊆10，10⊆10體現了順序關係，而且子集關係具有傳遞性
- 如果我們用x'={x}∈N作直接後繼會如何？
〉 {ø, {ø}, {{ø}}, {{{ø}}}, ….}
〉 0∈1∈2∈3
〉 但是沒有1∈3
〉 子集關係⊆在自然數之間也不成立
- 遞歸定義自然數的運算：＋、×
〉 加法的定義：x＋0＝x， x＋y'＝(x＋y)'
〉 如： 3+2 =(3+1)' =((3+0)')' =(3')'=4'= 5
- 遞歸定義自然數的運算：＋、×
〉 乘法的定義： x×0＝0， x×y'＝(x×y)＋x
〉 例子
〉 如：3×2＝(3×1)+3 =((3×0)+3)+3 = (0+3)+3 = (0+2)'+3 = ((0+1)')'＋3 = (((0+0)')')'+3 =((0')')'+3 = 3+3 =…… = 6
- 歸納原理
〉 設集合A是歸納定義的集合
〉 要證明 A 中 所 有 元 素 具 有 性 質 P ， 即 ：∀x(x∈A→P(x))，可以進行如下的證明：
〉 （歸納基礎）針對歸納定義的基礎條款，證明基礎條款中的所有元素均使P(
〉 （歸納推理）證明歸納條款是“保持性質P的”
〉 即在假設歸納條款中已確定元素x使P(x)真的前提下，證明用歸納條款中的操作g所生成的g(x)依然有性質P，即P(g(x))爲真
- 例如利用歸納原理證明：命題公式中左括號的數量等於右括號的數量
〉 命題公式，是由歸納定義所定義的集合
〉 設L[A],R[A]分別表示公式A的左括號數量和右括號的數量
〉 （歸納基礎）：對於命題變元(或常元)p，L[p]=R[p]=0
〉 （歸納推理）：設L[A]=R[A], L[B]=R[B]，那麼：
〉 L[(¬A)]=L[A]+1=R[A]+1=R[(¬A)]
〉 L[(A→B)]=L[A]+L[B]+1=R[A]+R[B]+1=R[(A→B)]
〉 所以對於一切命題公式，左括號數量等於右括號數量
- 數學歸納法
〉 既然自然數集合也是歸納定義的，對於自然數的一些性質，也可以通過歸納原理來證明，即我們通常用的“數學歸納法”
〉 第一數學歸納法
〉 歸納基礎：證明P(0)爲真
〉 歸納過程：對於任意k≥0假設 P(k) 爲真時，推出 P(k+1) 也爲真
〉 結論：所有自然數n都使P(n)爲真
- 數學歸納法例子
- 數學歸納法的變種
〉 起始於任意自然數 
〉 起始於多個自然數的數學歸納法
歸納基礎：證明P(0),P(1)真
歸納過程：對於任意k≥0假設P(k)爲真時，
推出P(k+2)也爲真
結論：所有自然數具有性質P
〉 允許有參變量的數學歸納法
對於二元謂詞P(m,n)，證明對於一切自然數m,n都爲真，可以視情況只對一個變量進行歸納，另一個變量作爲參數
- 數學歸納法例子
〉 證明：3分幣和5分幣可以組成8分以上任何幣值
〉 證明：8=3+5; 9=3+3+3; 10=5+5
〉 假設k可以用3分和5分幣組成，
〉 需要證明 k+3 時命題真，
〉 這是顯然的，只要再加一個3分幣即可
- 數學歸納法的正確性證明
〉 假設我們已經完成下面的推理：
〉 歸納基礎：P(0)真；
〉 歸納推理：∀k(P(k)→P(k+1))
〉 但是還並非所有自然數都有性質P
〉 將這些不滿足性質P的自然數構成一個非空自然數子集，這樣，子集中必定有一個最小的自然數，設爲m
〉 顯然m>0，記做 n+1，這樣n一定具有性質P，即 P(n)爲真
〉 ∃n(P(n)∧¬P(n+1))╞╡ ¬∀k(¬P(k)∨P(k+1))╞╡¬∀k(P(k)→P(k+1))
〉 假設推理結果與已經完成的歸納推理矛盾，所以假設錯誤
〉 即數學歸納法成立，所有自然數都有性質 P