公理化集合論初探

公理化集合論初探

 

一、集合論的背景

〉 集合論是以集合概念爲基礎，研究集合的一般性質的數學分支學科。
“集合”是比“數”更簡單的概念。集合論試圖從研究集合出發，定義“數”和數的“運算”，進而發展到整個數學，是研究數學基礎的學科
〉 集合是簡單而又基本的不作定義的初始概念。一般來說，集合是一些確定的、相異的事物的總體
〉 按照集合中事物數目是否有限，可以分爲有限集合和無限集合

無限集合是集合論研究的主要對象，也是集合論建立的關鍵和難點

〉 集合論的全部歷史都是圍繞無限概念展開的。人們把康托爾（G.Cantor，1845－1918）於1873年12月7日給戴德（R.Dedekind，1831－1916）的信中最早提出集合論思想的那一天定爲集合論誕生日。
〉 康托爾對無限集合的研究使集合論成爲數學中最富創造性的偉大成果之一
〉 人們對於無限的研究可以追溯到兩千多年以前

〉 從芝諾悖論：二分法悖論、阿基里斯追烏龜悖論、飛箭不動悖論

芝諾悖論涉及到時間空間的連續性問題，以及無限集合。但芝諾悖論涉及的無限問題卻使數學家和哲
學家關注了兩千多年去試圖解決。
〉 古希臘數學家排除了無限概念，幾何學裏設置了“整體大於部分”的公理

• 兩種無限：進程與整體

〉 潛無限
作爲過程的無限，指永遠延伸、永遠完成不了的進程，如自然數數列 1,2,3,…,n,…
〉 實無限
作爲已完成的整體的無限，如自然數全體組成的整體  {1,2,3,…,n,…}
〉 亞里士多德(Aristotle,B.C.384-322)最先提出要區分潛無限和實無限。並認爲只存在潛無限，實無限即無限集合是不存在的，因
爲無限多個事物不能構成一個固定的整體。
〉 由於無限集合不符合常識和經驗，兩千多年來，數學家都和亞里士多德一樣對無限集合持否定態度。但很快事情就有了轉機。

• 無限集合（實無限）的性質被陸續發（一一對應關係）

                                                        

〉 普羅克拉斯(Proclus,410-485)在研究直徑分圓的問題時發現直徑數量和將圓分成部分的數量有一一對應的關係。由於直徑的數量是無窮的，所以表明直徑的數量集合 {1,2,3, … n, … } 和圓被分成部分數量集合 {2,4,6,…2n,…} 之間存在一一對應的關係。
〉 兩個大小不同的同心圓上面的點可以通過公共半徑來一一對應。
〉 伽利略(G.Galileo,1564-1642)也發現不等長線段上的點可以構成一一對應關係。

〉 捷 克 數 學 家 波 爾 察 諾(B.Bolzano,1781-1848) 最先明確承認並堅決擁護無限集合的概念。將發現的一一對應關係稱作等價關係。

• 康托爾對無限集合的貢獻

〉 1874年，在《克列爾雜誌》上發表了《論所有實代數數集合的一個性質》，較全面闡述了無限集合思想
〉 康托爾以異於常識的思考定義了無限集合，還區分了兩種不同的無限集合：可數集和具有連續統的勢的集合
和自然數構成一一對應關係的可數集和實數區間[0,1]構成一一對應的具有連續統的勢的集。
〉 康托爾進一步證明了一條直線上的點和整個 n 維空間中的點具有一一對應的關係
〉 又引入了基數、序數、超限基數、超限序數等概念，並規定了它們的運算基數（勢）的引入描述了集合中元素數量的一種刻
畫，並規定和區分了不同層次無限集合的基數
〉 集合論需要嚴格運用純理性的論證，其結論不是人的直觀和常識所能夠掌握的
〉 康托爾的樸素集合論成爲整個數學的基礎

• 公理化集合論

〉 但羅素悖論的發現，產生了第三次數學危機

〉 爲了在樸素集合論中消除悖論，人們想了各種辦法來限制“病態集合”的產生。羅素的“類型論”，限制集合和元素之間的纏繞
〉 最成功的是採用希爾伯特公理化思想對樸素集合論進行公理化
將集合作爲不作定義的基本概念，通過一系列公理描述集合的性質，並避免產生悖論。
〉 公理化集合論產生髮展以後，普遍認爲它給數學提供了一個可靠的基礎。

• 關於無限的故事：希爾伯特旅館

〉 一傢俱有無限間房間的旅館
〉 某一天，已客滿
〉 又來了一位客人，住下了
〉 又來了無限位客人，也住下了
〉 先前的無限位客人每人帶來了無限位朋友，還是都住下了……
 

二、公理化集合論

1. 公理系統

　　先來看看康托爾對集合的定義：“一個集合是我們知覺中或理智中的、確定的、互不相同的事物的一個彙集，被設想爲一個整體”。儘管康托爾本人已經建立起了相當廣泛而深刻的集合理論，但對於集合本身的定義卻還是含糊的，他的理論被稱爲“樸素集合論”（Native Set Theory）。雖然試圖描述集合的每個屬性，但其中“彙集”、“整體”等詞其實是和“集合”等價的。定義的含糊使得各種悖論趁虛而入，這也成爲反對者們的主要攻擊目標。之後，策梅洛（Zermelo）爲集合建立了一套公理化系統，並由弗蘭克爾（Fraenkel）進行了擴充和修正，被稱爲ZF公理系統，包含選擇公理（見下文）的ZF系統簡稱爲ZFC系統。ZFC系統對集合的限制比較嚴格，後來由馮·諾伊曼（von Neumann）、哥德爾（Gödel）等人建立的GB公理系統則寬鬆很多，但這裏僅介紹ZFC系統。

                    

Zermelo（1871 - 1953）          von Neumann（1903 - 1957）               Gödel（1906 - 1978）

1.1 有限集

　　公理化系統中對原始概念不作定義，而只給出一些限定條件和定義，並在此基礎上進行推理。同樣，公理集合論中對集合不作定義，它是我們討論的唯一對象。另外，集合間有未定義的基本關係：A∈B，可以說成A是B的元素（member），或B包含A。任何概念都首先有一個基本關係“等於”，ZFC系統的第一個公理就對“等於”作了定義，該公理其實可以看作是“等於”和“屬於”的互相定義和描述。需要說明的是，雖然以下的結論都只有啓發性的描述，嚴格的證明都是要從公理或定理推出的。

　　【ZFC-1】外延公理（Atom of Extensionality）：如果對任意x，x∈A 當且僅當x∈B ，則A=B。

                                            

　　鑑於語言不方便也不精確，公理系統採用了一階謂詞邏輯的語言。使用A∈B 和A=B 作爲原子公式，加上邏輯操作符¬、∧、∨∨、⇒、⇔、∀、∃可以組成複雜的公式，原子公式的否定可以簡寫爲A∉B和A≠B。如果C(x)是一個含有x的公式，且x不受∀、∃限制，則C(x)稱爲x的一個條件（Condition）。

　　ZFC系統共10條公理，除去外延公理，其它9條都是對集合的限定，後續討論的集合必須可以由這些公理構造。公理將集合限定在可控制的範圍內，消除了悖論的產生，下面我們就從零開始，構建集合的大廈。

　　【ZFC-2】 空集公理（Atom of Empty Set）：存在不含任何元素的集合。

                                                              

　　空集公理承認不包含任何元素的集合是存在的，這樣就避免了追究元素到底是什麼。更重要的是，空集公理承認了至少有一個集合存在，有了這塊磚，集合的大廈就有了基礎。當然，根據外延公理，空集都是相等的，即空集是唯一的（這樣的推論以後不再贅述），一般記作∅。

　　有了一個集合，接下來可以構造包含1個元素、2個元素...的集合。它們的數量非常龐大，如何用盡量少的公理去構造它們？我們直接來看看ZFC系統是如何解決的：

　　【ZFC-3】偶集公理（Atom of Pairing）：對任何集合a、b，都存在僅包含它們的集合A。

                                                    

　　【ZFC-4】並集公理（Atom of Union）：對任意集合M，存在集合A，它的任何元素屬於M的某個元素。

                                                  

　　偶集公理開始對集合進行打包，構造更上層的集合，選擇兩個集合是因爲1是無法擴展的，而且a=b時也有 M={a}。並集公理將打好的多個包合併爲一個包，它用操作符∪(M)表示，也可以對元素直接操作，比如∪{a,b}=a∪b。藉助偶集公理它可以繼續擴展集合元素的數量，比如{a,b,c}=∪{{a,b},{c}}。另外要注意，並集公理並不限於兩個集合的並，這爲無窮集提供了很好的工具。

　　有了這3個公理，任何有限集都可在有限步內構造完成，有限的世界已經沒有什麼祕密了。如果再加上交（∪，intersection）、並（∩，union）、差（−）的運算和子集（⊆）、真子集（⊂）的概念，就和我們高中學習的集合沒什麼兩樣了。當然還有這麼一個妖豔的計算並集的公式：容斥原理，它在概率論和組合學中經常出現，覺得公式複雜的畫個文氏圖就一目瞭然了。

                                        

　　在計數時，必須注意沒有重複，沒有遺漏。爲了使重疊部分不被重複計算，人們研究出一種新的計數方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含於某內容中的所有對象的數目先計算出來，然後再把計數時重複計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重複，這種計數的方法稱爲容斥原理。

       如果被計數的事物有A、B、C三類，那麼，A類和B類和C類元素個數總和= A類元素個數+ B類元素個數+C類元素個數—既是A類又是B類的元素個數—既是A類又是C類的元素個數—既是B類又是C類的元素個數+既是A類又是B類而且是C類的元素個數。（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）

      在向無窮集進發之前，我們需要休整一下，再瞭解幾個今後有用的公理和概念。

　　【ZFC-5】冪集公理（Atom of Power Set）：集合A的一切子集組成集合。

                                                    

　　【ZFC-6】子集公理（Atom Schema of Separation）：存在滿足給定條件的子集。

                                             

　　冪集構建了一個很大的上層集合，爲子集公理提供了非常好的限制集，A的冪集一般記作P(A)。子集公理說明：滿足一定條件集合，只有被限定在某個集合中時，才能組成集合。這使得集合不能是過於龐大的匯合，從而消除了各種悖論。考慮以下“集合”（很容易導出矛盾）：（1）一切不屬於自己的集合（羅素悖論，Russell's Paradox）；（2）包含所有集合的集合。對於限制集比較明顯的場合，也可以用{x|C(x)}來表示子集。

                    

Russell（1872 - 1970）               Peano（1858 - 1932）            Dedekind（1831 - 1916）

1.2 關係

　　數學處理的對象除了數之外，更多的是關係，而關係一般由有序對組成。集合中的元素是沒有順序的，需要爲有序對（ordered pairs）建立模型。集合論中比較通用的有序對定義是：(a,b)={{a},{a,b}}，你可以嘗試證明其合理性。笛卡爾積A×B定義爲如下，它的限制集爲P(A∪B)。只包含有序對的集合叫關係，xRy表示(x,y)在關係R中，關係R所有元素的第一個元素組成定義域dom(R)，所有元素的第二個元素組成值域ran(R)，它們都是集合。

                                                 

　　關係的逆和複合已是我們熟悉的概念，它們分別記作和 R∘S。對於關係F值域內的每個x，若滿足xFy的y唯一，則F叫函數（function），且寫作F:X→Y，X上的二元運算則可以寫做F:X×X→X，X到Y的一切函數組成的集合記作， 稱爲F的限制（restriction）。另外還有大家熟悉的單射、滿射、雙射（一一映射，one-to-one injection）、象和原象的概念就不贅述了。

2.自然數

　　集合是數學的語言，而數學首先是研究數的，所以必須用集合爲數下個定義。人們最初認識的是自然數（natural number），它有着非常簡單的性質：“以0爲起點，以1爲步長依次排列”，所有自然數的運算都可以建立在這個簡單的模型上。所以定義自然數不是一件難事，著名的皮亞諾公理系統（Peano）就爲自然數建立了一個很好的模型，不過這裏我們只介紹馮·諾伊曼用集合爲自然數下的定義。

　　首先用∅定義0、用{∅}定義1是沒有什麼疑義的，那麼2呢？用{{∅}}？需要強調的是，自然數有兩個本質屬性：一個是數量，一個是順序，所以2裏既要體現它的大小，又要體現它與0、1的關係。馮·諾伊曼給出瞭如下巧妙的定義：

                                                             

　　當然，我們需要用集合的語言重新描述一下，定義爲a的後繼者（successor），任何自然數都是從∅開始的某個後繼者。仔細品味這個定義，它很好地滿足了量和序的雙重要求。對於一個包含有∅的集合A，如果它的任意元素的後繼者還是在A中，A被稱爲歸納集（inductive set），但從目前的6條公理我們還不能構造出這樣的“集合”，它需要單獨的一條公理來保證。

　　【ZFC-7】無窮公理（Atom of Infinity）：至少存在一個歸納集。

                                                         

　　歸納集是我們構造的第一個無窮集，但要注意一個歸納集中可能含有自然數之外的的其它元素，需要剔除它們才能得到純正的自然數集。當然，有了一個歸納集作爲限制集，加上用子集公理可以這樣定義自然數集：，容易證明ω也是歸納集，並且其中只有自然數。顯然，ω是最小的歸納集，如果它的某個子集A是歸納集，則有A=ω，這就是著名的歸納原理（Induction Principle），它是我們熟悉的數學歸納法的理論依據，經常被用來證明某個性質對所有自然數都成立。

　　接下來需要驗證這樣的自然數集是否合理，看看它與我們直觀上認識的自然數集是否兼容。直觀上的自然數集表現爲一個有序序列，每兩個自然數m、n都可以進行比較，即m=n、m<n和m>n中有且僅有一個成立（三歧性）。用集合定義的自然數有兩個等價的關係A∈B和A⊂B，反覆運用歸納原理不難證明它們也有三歧性，所以可作爲A<B的定義。自然數序列有開頭而沒有結尾，這個簡單的性質使之區別於其它數集，而且也是後面擴展爲超限數的基礎。這個性質一般表現爲“最小數定理”：任何自然數的集合都有最小數。證明思路是構造一個下限集，並選取其中的最大者，即是我們要找的最小數。這樣看來，自然數加上A<B的定義，完全是和直觀的自然數集相兼容的。

　　類似於自然數的定義，有一種常見的遞歸序列，序列的後一項依賴於前一項，這樣的序列能否成爲集合？直覺上看它和自然數集本質上是相同的，只要證明存在一個從自然數集到該序列的函數即可，這就是“遞推原理”（Recursive Theorem）。雖然這個函數有明顯的限制集，但由於是遞歸定義的，無法用有限的條件來描述它，所以簡單地用子集公理是不行的。證明方法和自然數集的定義是類似的，即找尋滿足條件的關係中最小那個（所有關係的交集），繼而只要用歸納原理證明它滿足遞歸條件且是函數即可。 

　　有了遞推原理，就可以按如下遞歸的方法定義自然數上的運算，容易證明它們都是上的函數。至於這些運算的各種性質（交換律、分配律之類）也不難推導，就不再贅述了。

　　（1）

　　（2）

　　（3）

　　歸納原理和遞推原理都依賴於“前序數”，而自然數則更強調“後序者”，如果想擴展這兩個原理，需要擺脫對“前序數”的依賴。一個簡單而有效的做法就是依賴所有“前序數”，如同最小數定理的證明一樣，我們可以關注它們的“後序者”（學完超限數，這些就更明白了）。由此可以得到更具一般性的第二歸納原理和第二遞推原理：

　　第二歸納原理：自然數集合A如果滿足，那麼A=ω。

　　第二遞推原理：存在滿足遞歸定義的函數。

　　至此，自然數已經被很好的定義和研究了，你甚至可以自己很輕鬆地定義整數（integer number）和有理數（rational number），它們都可以由自然數擴展得來。但實數（real number）的定義似乎並不是那麼顯然，而實數卻又是那樣的真實和重要，必須有一個好的模型才能使微積分有個堅實的基礎，這就回到了集合論創立的初衷。歷史上有兩個優秀的實數模型，一個來自康托爾的戰友戴德金（Dedekind），一個來自康托爾本人。戴德金分割（Dedekind cut）將一個實數定義爲有理數集的一個分割，這個簡單而有效的定義非常適合於實數運算。康托爾則用無窮有理數列定義實數，本質是將實數定義爲實無窮。

 

三、序集和序數

1. 勢

　　在上一篇我提過自然數“量”和“序”的雙重性質，如果再仔細斟酌，“量”其實是由“序”產生和決定的，把有限的元素按某個順序排列起來，正是我們確定其數量的過程。那麼對於無窮集，“量”和“序”還有這樣的關係嗎？無窮集的“量”和“序”又該如何定義呢？既然它們產生於自然數，那麼答案自然就在自然數的擴展中。對於有限集的量n，可以看作是有限集的元素與n的元素的一一對應。這個直觀的方法同樣適用於無窮集，如果能找到一個標尺，將無窮集的元素和標尺的元素一一對應，那就能得到無窮集的“量”。

　　暫且不管這個標尺是什麼，我們需要先檢驗這個方法的合理性，至少“相等”是可以被定義的。直覺上我們往往採用大小或包含關係來推導集合是否一樣大，但這樣的直覺卻是不可靠的，也不是一種良性的定義，數學上需要“好”的定義。對於存在一一映射的兩個集合A、B稱其爲等勢（equinumerous），記做A≈B，容易證明，等勢可以作爲“量相等”的定義。有時可以找到一些函數，使得局部和整體能一一映射，比如2n映射了自然數和偶數，cot⁡πx映射了(0,1)和實數R，所以它們也是“一樣大”的。

　　“大於”、“小於”也可以用類似的方法定義：如果從集合A到集合B存在單射，則稱A受制於B，記作A≼B。如果A、B不等勢，稱A嚴格受限於B，記作A≺B。受制的良性需要保證，這就是如下的SB定理（Schröder-Bernstein）。證明中假設分別有單射f:A→B和g:B→A，需要構造A、B的分割，使得f(A1)=B1、g(B2)=A2。對X∈A，記，從A開始逐漸縮小X，並保證，最小的那個（滿足條件的X的交）便是A1。SB定理是判斷集合等勢的有力武器，用它可以輕鬆證明任何區間都與實數集R等勢。有受制關係的集合稱爲可較的，它是比較集合大小的“好”定義，但問題是所有集合都可較嗎？這個問題需要暫且擱置，後面再提。

                                           

                               

　　利用等勢，“有限”和“無窮”就可以被精確定義了：和某個自然數等勢的集合稱爲有限集，否則稱爲無窮集。這個定義的良性也是需要證明的，即證不同的自然數不等勢（需用歸納原理），從而有限集A只與一個自然數等勢，這個自然數也叫集合的勢，記作N(A)。用歸納原理可以證明有限集A的真子集B也是有限集，且有N(A)>N(B)。反之，如果集合與其真子集等勢，則它必是無窮集，這也可以作爲無窮集的定義。無窮集中以ω最爲特殊，受制於ω的集合叫可數集，它的每個元素都可以被“數”到。偶數集、整數集Z等都是可數集（容易證明），由下圖還可以證明ω×ω可數，即可數個可數集可數，這個結論可以直接推到2維、3維...可數維空間的整數點都是可數的。有理數都可以表示成分數，而分數可看作2維空間的子集，所以有理數集Q也是可數的。

                                         

　　那麼有沒有不可數的無窮集呢？康托爾本人給出了否定的答案，這就是著名的“對角論證法”。這裏稍作修改，考慮區間[0,1)[0,1)，假設它是可數的，用二進制數表示它們。再構造一個數x，它的第i位小數與ai的第i位小數相反，則x不能被數到，矛盾。一般地有，任何集合的冪集與該集合不等勢（X≺P(X)），證明思想和“對角證明法”如出一轍。假設存在一個一一映射，構造，則B沒有原像（反證），矛盾。由於，該定義還可以寫成，從而任何集合都有比它還“大”的集合。

                                               

　　ω的勢一般用ℵ0表示，R的勢一般用C表示，[0,1]的二進制表示可以看做是自然數子集的比特表示，所以有和。ℵ0是最小的無窮勢，假設下一個無窮勢記作ℵ1，那麼它會是C嗎？更一般地問題是，是否有？這就是著名的連續統假設（CH，Continuum Hypothesis，(0,1)稱爲連續統）和廣義連續統假設，由康托爾提出並嘗試證明，但並未完成。希爾伯特（Hilbert）在1900年提出了20世紀待解決的23個重要數學問題，連續統假設被列在問題之首。後來哥德爾證明了它與ZFC的兼容性，科恩（Cohen）用力迫法證明了其獨立性，也就是說連續統假設並不能在ZFC系統內證明，但至今仍未找到合適的公理使其成立。

          

    Hilbert（1862 - 1943）               Cohen（1934 - 2007）

2. 良序

　　有一個常用的證明方法，它從給定的一簇集合中各選取一個代表元素，這些元素能否組成集合並不能由前面的公理推得。策梅洛爲這個方法專門提出了選擇公理（AC），後人證明了AC與ZF的兼容性和獨立性。當集合數量無窮時，這樣的操作並不能通過有限步的推理完成，因此這個方法一直被構造派所抵制。但數學中的很多重要結論都無法繞開AC，甚至反對者自己也在不自覺地使用着它，後來反對的聲音自然也就變弱了。AC可以從之前的概念中得出許多有用的結論，比如如果存在滿射 f:A→B，則存在單射 g:B→A，再比如無窮集中可以抽取出和ω等勢的子集，從而無窮集總是和其真子集等勢（可以做無窮集的定義）。

　　【ZFC-8】選擇公理（Atom of Choice）：對集簇，存在簇。

　　現在繼續討論對自然數的擴展，以得到我們的標尺，標尺上是有序排開的刻度。滿足自反性、反對稱性和傳遞性的關係稱爲偏序（partial order），偏序中可以方便地引入⩽、<等符號，它們將元素組成了一個網狀。標尺當然要是線狀的，這需要每個元素都可較，這樣的偏序稱爲全序（total order）或線性序（linear order）。要擴展自然數，它還要滿足最小數原理（任何子集有最小元），這樣的全序叫良序（well order），良序集幾乎包含了自然數的所有特性。對於線狀的全序，截取其左邊部分稱爲截斷，而稱爲a在A中的前段（initial segment），不同於截斷的是，前段都有一個“後繼者”。由最小數原理容易得知良序的截斷都是前段，這是它區別於一般全序的重要特性，並由此可以得出以下的超限歸納原理和超限遞歸原理：

　　超限歸納原理（Transfinite Induction Principle）：若A是良序W的子集，且有，則A=W。

　　超限遞歸原理（Transfinite Recursive Theorem）：存在滿足遞歸定義的函數。

　　結構相同（同構）的良序可以看做是“相等”的，準確地說對於良序和，如果存在雙射f:X→Y使得，則稱X、Y相似（isomorphic），記作X≃Y。可以直觀地想象，全序集上的相似映射可以左右移動，但有頭無尾的偏序只能向右移動，從而良序到其子集的相似映射總有x⩽f(x)，進而可以得出良序不能和其截斷相似和良序間相似映射的唯一性。對於任意兩個良序的比較，自然是選擇頭部對齊，看看誰更長，由超限遞歸原理容易證明它們要麼相似，要麼一個相似於另一個的前段。

　　標尺的框架（良序）已經有了，一個自然的問題是，任何集合的元素都可以對應到標尺的刻度上嗎？換句話說，任何集合都可以良序化嗎？康托爾提出了這個問題（良序化原理），但卻未能解決，策梅洛提出了選擇公理並給出了證明。證明過程完全基於選擇公理，並反覆用到超限歸納原理，只是要注意歸納原理僅作用於良序，證明中需要一些常用技巧和處理。有了良序化原理，就可以回答任何集合是否可較的問題，因爲任何集合可以良序化，而良序集可較，所以任何集合可較，即A≈B、A≺B 和B≺A恰有其一成立（三歧性）。

　　良序原理可以得到另一個基本結論，它就是Zorn引理：如果序集的任意鏈有上界，則它有極大值。證明中可以將MM良序化來構造想要的極長鏈，從而得到極大值。在沒有選擇公理和良序原理時，如果承認Zorn引理，也是可以證明選擇公理的，它等價於證明一個關係中有一個定義域相同的函數，可以通過將所有函數組成包容序來解決。至此，選擇公理、良序原理和Zorn原理可互相推導，它們可以看做是等價的。

3. 序數和基數

　　標尺的框架和可行性已經解決了，接下來就是來標刻度了。按照自然數的定義，我們自然想到這些刻度應該是但想用一句話概括它們還是得有嚴格的定義：滿足條件的良序集α稱爲序數。容易證明自然數都是序數，而且如果α是序數，則也是序數，所以都是序數。容易證明任何序數中都含有00，而且其元素也是序數，用超限歸納原理還可以證明相似的序數必是相等的，從而序數的“唯一性”就得到了保證。序數都是良序集，它們也就滿足三歧性，所以它們可以一字排開，而且每個序數的“後序數”都是它的後繼者。

　　那麼還有最後一個問題：所有集合（或良序集）都有其對應的序數嗎？回答這個問題之前需引進另一個公理，這就是下面的替換公理。替換公理在沒有限制集的情況下承認一類集合的存在，因爲這類集合受制於已知集合，它們的存在也是合理的。但替換公理卻不是獨立於其它公理的，它可以完全取代子集公理，它還可以證明偶集公理。ZFC公理系統還有最後一個略顯多餘的正則公理，它避免了過大集合的產生，但其它9條公理其實構造不出那樣的集合。

　　【ZFC-9】替換公理（Atom Schema of Replacement）：如果給定集合的任一元素都有唯一的集合與之對應，這些集合可以組成集合。

                

　　【ZFC-10】正則公理（Atom of Regularity）：對任意非空集合A，存在一個元素x使得x∩A=∅。

                                                 

　　有了替換公理就可以構造良序集的序數了，考察良序集中那些有序數的前段，這些序數的並（替換公理）就是要找的序數，這就是我們要的計數原理：任何良序集X都相似於唯一序數α，記作α=ord(X)。序數可以作爲自然數的擴展，不是自然數的序數叫超限數，可以按如下方法定義序數的加法和乘法，它們滿足大部分運算定律，但乘法不滿足交換律和右分配律。

　　（1），其中、；

　　（2）。

　　序數僅能擴展自然數“序”的性質，但卻不能體現“量”的性質，因爲不同的序數可以是等勢的。這些等勢的序數有最小者，把它作爲“量”的度量，稱爲基數（cardinal number），記作card(X)。基數是勢的量化描述，非自然數的基礎稱爲超限基數，顯然ℵ0是最小的超限基數。由序數原理自然可知每個序集都有都有對應基數，這樣SB定理變得十分顯然，但要知道序數定理是基於選擇公理的，而SB定理本身不依賴選擇公理。基數的加法、乘法和冪都容易定義，以及一般的運算律都容易證明，這裏不再贅述，值得一提的是以下運算律，它們可以通過Zorn引理和反證來證明。

　　（1）加法吸收律：b爲超限基數，且a⩽b，則a+b=b；

　　（2）乘法吸收律：b爲超限基數，且1⩽a⩽b，則a⋅b=b；

　　（3）冪的降底律：b爲超限基數，且2⩽a⩽b，則。

 

　　看起來我們在無窮的道路上已經走遠，但其實這只是個開始，當沿着一路思考下去，極有可能你將徹底迷失……哈哈。