離散數學之集合論【中】

一、有序組

有序組

〉元素的無序性是集合的特徵之一，那麼元素的有序組合又該如何從集合定義？
〉二元有序組，又稱二元組(2-tuple)，或者序偶(ordered pairs)
〉設 a,b 爲任意對象，稱集合族 {{a},{a,b}} 爲二元有序組，簡記爲 <a,b>
〉稱a爲<a,b>的第一分量，b爲第二分量

“有序”的含義？
〉定理：對於任意序偶 <a,b>, <c,d>，<a,b>=<c,d> 當且僅當a=c且b=d

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證明：

〉充分性是顯然的
〉證明必要性：設<a,b>=<c,d>，也就是
〉 {{a},{a,b}}={{c},{c,d}}
〉 $\Rightarrow$ ∪{{a},{a,b}}=∪{{c},{c,d}} $\Rightarrow$ {a,b}={c,d}
〉以及，{{a},{a,b}}={{c},{c,d}}
〉 $\Rightarrow$ ∩{{a},{a,b}}= ∩{{c},{c,d}} $\Rightarrow$ {a}={c}
〉綜合兩式，有a=c且b=d

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〉當a≠b時：<a,b>≠<b,a>
〉但{a,b}={b,a}
〉有序組 {{a},{a,b}} 的巧妙定義，利用元素和集合的兩個不同層次實現兩個對象 a,b 的有序排列

〉 n元有序組(n-tuple) <a1,…,an>
遞歸定義：
〉 n=2時，<a1,a2> = {{a1},{a1,a2}} ；（遞歸出口）
〉 n>2時，<a1,…,an>= <<a1,…,an-1>, an>；（遞歸條件）
〉 ai 稱爲n元組的第i分量
〉定理：對於任意n元組 <a1,…,an>=<b1,…,bn> 當且僅當 a1=b1,…,an=bn

笛卡兒積：集合的一種運算

〉對任意集合 A1,A2,…,An，A1×A2 稱作集合 A1，A2 的笛卡兒積，定義如下（遞歸定義）：
〉 A1×A2 = {<u,v> | u∈A1,v∈A2}
〉 A1×A2×… ×An =(A1×A2×… ×An-1) ×An

例子：A={1,2}，B={a,b}，則：
〉 A×B 等於{<1,a>, <1,b>, <2,a>, <2,b>}； B×A 等於{<a,1>, <a,2>, <b,1>, <b,2>} ； A× $\varnothing$ ＝ $\varnothing$ ×A＝ $\varnothing$
〉 R2={<x,y>|x,y是實數}，R2爲笛卡兒平面；
〉 R3爲三維笛卡兒空間
笛卡爾是解析幾何創始人，首次用三元組表示空間中的點，統一了代數與幾何
〉 一般來說：
〉 A×B≠B×A（不滿足交換律）
〉 A×(B×C) ≠(A×B)×C（不滿足結合律）

笛卡兒積對集合運算的分配律
〉定理：設A,B,C爲任意集合，$表示∪,∩或－運算，那麼：A×(B$C)=(A×B)$(A×C)， (B$C)×A=(B×A)$(C×A)
笛卡兒積的基數定義爲如下：
〉定理：對於任意有限集合 A1,… ,An ，有|A1×…×An|=|A1|*…*|An|

二、關係

關係的基本概念

〉關係是各個對象之間的聯繫和對應
〉最常見到是兩組對象之間的聯繫和對應。職員-部門的隸屬關係
〉也有三組或者更多對象之間的聯繫和對應。供應商-工程-零件的供應關係
〉採用二元組或者多元組的集合來表示關係

ED={<張三,人事部>,<李四,銷售部>,<王五,技術部>}
SPJ={<公司甲,大樓,水泥>,<公司甲,公路,水泥>,<公司乙,大樓,鋼筋>,<公司丙,公路,瀝青>}

關係的定義

〉 R 稱爲集合A1,A2,…,An-1到 An 的n元關係，如果 R 是 A1×A2×…×An 的一個子集。當A1=A2=…=An-1=An時，也稱R爲A上的n元關係。
〉如果R是A×B的一個子集，稱R是A到B的二元關係，若R是A×A的一個子集，則稱R是A上的二元關係。所有關係共 $2^{|A \times B|}$ 個
〉我們主要研究二元關係。

關係的例子

〉自然數的相等關係 = {<0,0>,<1,1>,<2,2>,…}（列舉法）
〉 整除關係 D={<x,y>|x整除y}（描述法）

〉 小於關係 L：歸納法
〉基礎條款：<0,1>∈L
〉歸納條款：若<x,y>∈L，則<x,y+1>∈L，<x+1,y+1>∈L
〉終極條款（略）

幾個特殊的二元關係

〉 空關係 $\varnothing$ ， $\varnothing$ $\subseteq$ A×B，稱 $\varnothing$ 爲A到B的空關係
〉 全關係 A×B，笛卡兒積A×B是A到B的全關係
〉 相等關係 ={<x,x>|x∈A}，稱作A上的相等關係

關係的幾個概念

〉定義：設R爲A到B的二元關係( R $\subseteq$ A×B)
〉 xRy 表示 <x,y>∈R， ¬xRy表示<x,y> $\notin$ R
〉 R的定義域 domain：
〉 Dom(R)={x|x∈A∧ $\exists$ y(<x,y>∈R)}
〉 R的值域 range：
〉 Ran(R)={y|y∈B∧ $\exists$ x(<x,y>∈R)}
〉稱A爲R的前域，B爲R的陪域

關係的表示法

〉 集合表示法: R={<x,y>|P(x,y)}，適合於表示集合的幾種方法均可，如前面的關係例子
〉 關係圖法： 適用於前域和陪域都是有限集合，一般的關係圖，有向箭頭表示元素之間存在關係
〉也可以表示前域和陪域相同的關係圖

前域和陪域不同的關係圖

前域和陪域相同的關係圖

關係矩陣法表示

〉前域和陪域都是有限集合
〉設關係R $\subseteq$ A×B，A={a1,…,am}，B={b1,…,bn}
關係R的關係矩陣的定義：
〉 $m_{ij}$ =1當且僅當
〉 $m_{ij}$ =0當且僅當 ¬

關係基本運算

運算基本定義
〉 關係相等: 如果關係R和S具有相同的前域和陪域，並且 ∀x∀y(xRy↔xSy)
〉關係運算中的前域和陪域: R $\subseteq$ A×B，A爲前域，B爲陪域
〉參與關係運算的兩個關係應該具有相同的前域和陪域
這個條件不是本質的，因爲總可以對關係的前域和陪域做適當的擴充，使之滿足條件

作爲集合的關係運算
〉 R和S爲A到B的二元關係，R,S $\subseteq$ A×B
〉並：R∪S={<x,y>|xRy∨xSy}
〉交：R∩S={<x,y>|xRy∧xSy}
〉差：R－S={<x,y>|xRy∧¬xSy}
〉補：R－=A×B－R={<x,y>| ¬xRy}
並不是全集U-R，而是全關係與R的差

對應的關係矩陣運算
〉和爲R、S的關係矩陣
〉並： $M_{R{\cup}S}$ =∨（矩陣對應分量做析取）
〉交： $M_{R{\cap}S}$ =∧（矩陣對應分量做合取）
〉補：－=()－（矩陣對應分量做否定）
〉差： $M_{R{-}S}$ =∩S－=∧－

關係逆運算(converse)
〉 R~={<y,x>| xRy }，R $\subseteq$ A×B
〉顯然， R 的逆關系是 B 到 A 的關系：R~ $\subseteq$ B×A
〉逆關係關係矩陣的運算：~= $M_{R^T}$ ，矩陣轉置
〉逆運算例子
~=； $\varnothing$ ~= $\varnothing$ ；(A×B)~=B×A
自然數“小於＜”關係的逆關係是“大於＞”
自然數“小於＜”關係的補關係是“大於或等於≥”

關係逆運算的性質
〉逆運算和並交差補等運算都滿足分配律
〉 R,S $\subseteq$ A×B，$ 代表並交差運算之一
〉 R~~=R（兩次逆復原）
〉 R~－=R－~（逆的補等於補的逆）
〉 (R$S)~=R~$S~（對並交叉運算分配律）
〉 R $\subseteq$ S當且僅當R~ $\subseteq$ S~
〉從矩陣轉置角度來看，表現爲轉置運算不會改變矩陣分量的值

關係合成運算 (composition)
〉 R爲A到B的二元關係，R $\subseteq$ A×B
〉 S爲B到C的二元關係，S $\subseteq$ B×C
〉 R和S的合成關係 $R\circ S$ 定義爲：
〉 $R\circ S$ ={<x,z>|x∈A ∧ z∈C∧∃y(y∈B∧xRy∧ySz)}
〉 簡化形式： $R\circ S$ ={<x,z>|∃y(xRy∧ySz)}
〉 $R\circ S$ $\subseteq$ A×C，是A到C的二元關係
〉由於參與合成的第一個關係的陪域要等於第二個關係的前域，所以合成關係不滿足交換律

關係合成運算的例子
〉設是A上的相等關係，是B上的相等關係，R $\subseteq$ A×B
〉 $\circ$ R=R $\circ$ =R
〉 $\varnothing$ $\circ$ R=R $\circ$ $\varnothing$ = $\varnothing$
〉 R $\circ$ R~ = （A×B，B×A） {<x,x>|∃y(xRy∧yRx)}
〉 R~ $\circ$ R=（B×A，A×B） {<y,y>|∃x(yRx∧xRy)}
〉兄弟關係和父子關係的合成是“叔侄”關係

用關係圖表示合成運算

用關係矩陣表示合成運算
〉 關係合成運算對應關係矩陣的乘法
〉將數乘換成合取，將數加換成析取
〉設|A|=m，|B|=n，|C|=p，
〉 R $\subseteq$ A×B，S $\subseteq$ B×C，
〉則= $[r_{ij}]_{m*n}$ ， = $[s_{ij}]_{n*p}$
〉 T=R $\circ$ S，有T $\subseteq$ A×C，
〉 =*= $[t_{ij}]_{m*p}$
〉其中 $t_{ij}=\vee_{k=1..n}(r_{i,k}\wedge s_{k,j}) (i=1,..,m;j=1,..,p)$

合成運算的性質
〉 R $\circ$ (S∪T)=(R $\circ$ S)∪(R $\circ$ T)（左分配律）
〉 (S∪T) $\circ$ R=(S $\circ$ R)∪(T $\circ$ R)（右分配律）
〉 ∃x(A(x)∨B(x))╞╡∃xA(x) ∨ ∃xB(x)
〉 R $\circ$ (S∩T) $\subseteq$ (R $\circ$ S)∩(R $\circ$ T)
〉 (S∩T) $\circ$ R $\subseteq$ (S $\circ$ R)∩(T $\circ$ R)
〉 ∃x(A(x)∧B(x))╞∃xA(x)∧∃xB(x)
〉 (R $\circ$ S)~=S~ $\circ$ R~
〉 R $\circ$ (S $\circ$ T)=(R $\circ$ S) $\circ$ T（結合律）

關係的冪運算
〉定義爲自身的n次合成
〉 =R $\circ$ … $\circ$ R（n個R合成）
〉 =
〉 冪運算的性質
〉 $\circ$ = $R^{n+m}$
〉 = $R^{nm}$
〉 可以把m看作參數，對n進行歸納法證明

冪關係有限定理
〉設集合A的基數爲n，R是A上的二元關係，則存在自然數 i,j 使得0≤i＜j≤ $2^{n^2}$ ，有Ri=Rj
證明：
〉 R的任意次冪運算仍是 A 上的二元關係
〉有限集A上不同的二元關係數量是有限的
〉因爲R $\subseteq$ A×A，而A×A子集的個數有限
〉如果|A|=n，A上的二元關係的數量是 $2^{n^2}$
〉根據“鴿籠原理”，在0～ $2^{n^2}$ 共計 $2^{n^2}$ ＋1個R的冪關係中，一定有兩個是相同的

關係基本特性

A上一些特殊性質的二元關係
〉 自反關係(reflexive)
〉 ∀x(x∈A→xRx)
〉關係圖：每個節點都有環
〉關係矩陣：對角線全爲1
〉 反自反關係(irreflexive)
〉 ∀x(x∈A→ ¬xRx)
〉關係圖：每個節點都沒有環
〉關係矩陣：對角線全爲0

〉 對稱關係(symmetric)
〉 ∀x∀y(x,y∈A∧xRy→yRx)
〉關係圖：兩個節點之間有邊的就有反向邊
〉關係矩陣：對稱矩陣
〉 反對稱關係(antisymmetric)
〉 ∀x∀y(x,y∈A∧xRy∧yRx→x=y)
〉關係圖：兩個節點之間只能有一條單向邊
〉關係矩陣： $c_{i,j}$ =1(i≠j)時 $c_{j,i}$ =0

〉 傳遞關係(transitive)
〉 ∀x∀y∀z(x,y,z∈A∧xRy∧yRz→xRz)
〉關係圖：如果有邊 $v_1v_2,...,v_{n-1}v_n$ ，則有邊

〉例子：
〉設A={1,2,3}，R是A上的二元關係
〉 R={<1,1>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}是自反的
〉 R={<1,3>,<3,1>}是反自反的，不是自反的
〉 R={<1,1>}不是自反，也不是反自反

特殊性質二元關係的例子
〉 A上的空關係 $\varnothing$ 是反自反的，不是自反的
〉如果A= $\varnothing$ ，那麼A上的空關係就是自反的，同時也是反自反的，因爲注意定義謂詞的前件 x∈A 始終爲假
〉 R={<1,3>,<3,1>,<1,2>,<1,1>} 不是對稱的，也不是反對稱的。
〉 R={<1,2>,<2,1>}是對稱的
〉 R={<1,2>,<3,1>}是反對稱的
〉 A上的相等關係EA既是對稱的，又是反對稱的
〉 R={<1,2>,<2,3>,<1,3>,<3,3>}是傳遞的，但R-{<1,3>}不是傳遞的
〉空關係 $\varnothing$ 是傳遞的，R={<1,2>,<1,3>}也是傳遞的，因爲它們使得傳遞定義的前件爲假

〉所有非空集合上的：
空關係都是反自反、對稱、反對稱、傳遞的；
全關係是自反，對稱，傳遞的；
相等關係是自反，對稱，反對稱，傳遞的；

〉整數集合上的整除關係是自反、反對稱、傳遞的；
〉三角形的相似關係、全等關係都是自反、對稱、傳遞的

關係特性定理

關係特性的一些定理
〉 R自反當且僅當 $\subseteq$ R
〉 R反自反當且僅當 ∩ R $\subseteq$ $\varnothing$
〉 R對稱當且僅當R $\subseteq$ R~
〉設R對稱，則：<x,y>∈R $\Rightarrow$ <y,x>∈R $\Leftrightarrow$ <x,y>∈R~
〉設R $\subseteq$ R~，則：
〉 xRy $\Rightarrow$ xR~y $\Leftrightarrow$ yRx，所以R對稱
〉 R反對稱當且僅當R∩R~ $\subseteq$

〉 R傳遞當且僅當 $\subseteq$ R

關係基本特性的運算封閉性
〉具有某特性的關係，在運算後，運算結果是否保持這個特性，稱爲運算封閉性
〉所有5個特性對交運算封閉，即如果R1、R2都具有某個特性，則R1∩R2仍具有
這個特性：
〉例證：對稱性， $xR_1\cap R_2y\Leftrightarrow {\color{Blue} xR_1y \wedge xR_2y\Leftrightarrow yR_1x {\wedge}yR_2x} \Leftrightarrow yR_1 \cap R_2x$
〉自反、反自反、對稱性對並運算封閉
〉例證：自反性， $xR_1x\Rightarrow xR_1x \vee xR_2x\Leftrightarrow xR_1\cup R_2x$ （並不要求R2具有特性）
〉反自反、對稱、反對稱對差運算封閉
〉例證：反對稱： $xR_1-R_2y\wedge yR_1-R_2x\Rightarrow xR_1y\wedge yR_1x \Rightarrow x=y$
〉實際上，只要反對稱，任何，都是反對稱的
〉對稱性對補運算封閉
〉 xR－y，假設¬yR－x，那麼yRx，即xRy，和已知矛盾，所以有yR－x
〉所有5個特性對求逆運算均封閉
〉例證：傳遞，xR~y ∧ yR~z $\Leftrightarrow$ yRx ∧zRy $\Rightarrow$ zRx $\Leftrightarrow$ xR~z
〉自反對合成運算封閉，其它性質對合成運算均不封閉：
〉 xR1x ∧xR2x $\Rightarrow$ xR1 $\circ$ R2x

關係的閉包

因爲關係的運算能夠生成新的關係，但也可能會失去一些性質；另一方面，有的關係“先天性” 地就缺少一些特定的性質。那麼此時，如果想要使關係具有某個缺失的性質，就可以使用關係關於某性質的閉包來實現。

定義：
R1 稱作 R 的關於某特定性質的閉包，如果

R1 包含 R ；
R1 具有所希望的性質 ；且
R1 是 A 上滿足 1 和2 條件的最小關係。

若 A 上的關係 S 也滿足條件 1 和 2 則必然有R1 $\subseteq$ S 。

一般將關係 R 的：自反閉包記作 r(R)， 對稱閉包記作 s(R)， 傳遞閉包記作 t(R)

例如：A = {0, 1}, R = { (1, 0), (1, 1) } R 的自反閉包是 { (0, 0), (1, 0), (1, 1) } 【注： 包含 R，具有自反性，是“最小的”】
上例子可通過列出集合 A 自身的所有笛卡爾積的關係矩陣表示。共 $2^{|A \times A|}$ = = 16 個關係。然後從中篩選出滿足條件的。

但我們不可能所有的求閉包的問題都歸結到列舉法，然後在刪除不滿足條件的關係。我們需要找到其對應的代數運算規律。如下：

自反閉包（Reflexive Closure）
設 R 是集合 A 上的一個關係，則 R 的自反閉包是 R∪。

R $\subseteq$ R∪。
R∪ 具有自反性——由於 $\subseteq$ R∪。
若 R $\subseteq$ S且 S 是自反的，則 $\subseteq$ S，於是 R∪ $\subseteq$ S 。

從關係圖上來看，就是 R 的自反閉包就是，若沒有自環的話，就補充自環。

對稱閉包（Symmetric Closure）
設 R 是集合 A 上的一個關係，則 R 的對稱閉包是 R∪ $R^{-1}$ 。

R $\subseteq$ R∪ $R^{-1}$
$(R\cup R^{-1})^{-1}$ = $(R)^{-1}\cup (R^{-1})^{-1}$ = $R^{-1}$ ∪R = R∪ $R^{-1}$ 。
若 S 具有對稱性，且 R $\subseteq$ S，則由 S 是對稱的，有 S = $S^{-1}$ 。
由 R $\subseteq$ S，得到 $R^{-1}$ $\subseteq$ $S^{-1}$ 。
因此 R∪ $R^{-1}$ $\subseteq$ S∪ $S^{-1}$ = S。

從關係圖上來看，就是 R 的對稱閉包就是，將所有相異的頂點單向的邊補充成雙向的。或者直接將有向圖改爲無向圖。

傳遞閉包（Transitive Closure）
定理：設 R 爲集合 A 上的任意二元關係，則 $R^ \infty$ 是 R 的傳遞閉包。
證明：
① R $\subseteq$ $R^ \infty$
② $R^ \infty$ 具有傳遞性
若 a $R^ \infty$ b 且 b $R^ \infty$ c ，則存在 R 中從 a 到 b 的道路 $\pi_1$ 和從 b 到 c 的道路 $\pi_2$ ，
於是 $\pi_1$ 和 $\pi_2$ 的複合即是爲從 a 到 c 的道路，
因此有 a $R^ \infty$ c ， $R^ \infty$ 具有傳遞性。

③ $R^ \infty$ 是“最小的”
對於A 上任一滿足 R $\subseteq$ S 的傳遞關係S，由其滿足傳遞性知對於所有 n ≥ 1，
$\subseteq$ S，於是
$R^ \infty$ = $R\cup R^2\cup R^3\cup{...} \subseteq S\cup S^2\cup S^3\cup ... \subseteq S$ 。

使用關係矩陣計算關係的閉包
假設 |A| = n
自反閉包 : $M_{r(R)} = M_R\vee I_n$
對稱閉包: $M_{r(R)} = M_R\vee (M_R)^T$
傳遞閉包: $M_{R^\infty } = M_R \vee M_{R^2}\vee M_{R^3} \vee... \vee M_{R^n}$

關係的閉包運算在關係圖的表現

自反閉包：每個頂點如果沒有自環則增加自環
對稱閉包：如果有頂點i到頂點j的有向邊且 i  j ，則添加（如果該圖中不存在）有向邊 ( j, i ) 或者保留該關係的有向圖中的頂點，且將所有有向邊改作無向邊
傳遞閉包：不斷更新有向圖：如果存在頂點 i 到 j 的道路，則將邊 ( i, j ) 添加到有向圖中（如果該圖中不存在），直至沒有新的有向邊可添加爲止

關係閉包運算的性質 Closure

定理1
假設 R 是集合 A 上的關係，則

R 是自反的當且僅當 r(R) = R
R 是對稱的當且僅當 s(R) = R
R 是傳遞的當且僅當 t(R) = R

證明： (c) R是傳遞的當且僅當 t(R) = R
(1) 假設 R 是傳遞的，則：R 是傳遞的，R $\subseteq$ R，對於任何包含 R 的傳遞關係 S 都有 R $\subseteq$ S
(2) 假設 t(R) = R，則 R 是某個關係的傳遞閉包，其必然是傳遞的

定理2
假設 R, S 是集合 A 上的關係且 R $\subseteq$ S，則
(a) r(R) $\subseteq$ r(S)
(b) s(R) $\subseteq$ s(S)
(c) t(R) $\subseteq$ t(S)
證明： (a)
由於 r(S) 滿足自反性，而且 R $\subseteq$ S $\subseteq$ r(S) ，因此由自反閉包的最小性有 r(R) $\subseteq$ r(S) 。

定理3
假設 R 是集合 A 上的關係，則
(a) 如果 R 是自反的，那麼 s(R) 和 t(R) 都是自反的
(b) 如果 R 是對稱的，那麼 r(R) 和 t(R) 都是對稱的
(c) 如果 R 是傳遞的，那麼 r(R) 是傳遞的。(注意：此處不包含 s(R)）
證明： (b)的一部分
R = $R^{-1}$ ；於是 $(r(R))^{-1}=(R\cup I_A)^{-1}=R^{-1}\cup (I_A)^{-1} =R \cup I_A= r(R)$ ；
r(R) 是對稱的。

定理4
設 R 是集合 A 上任一二元關係，則
(a) r(s(R)) = s(r(R))
(b) r(t(R)) = t(r(R))
(c) t(s(R)) $\supseteq$ s(t(R))
證明： (c)
由閉包的定義有 R $\subseteq$ s(R)，因此可得 t(R) $\subseteq$ t(s(R))
由於 s(R) 具有對稱性， t(s(R)) 也具有對稱性
因爲 s(t(R)) 是 t(R) 的對稱閉包，由最小性即有 s(t(R)) $\subseteq$ t(s(R))

此外，求關係的傳遞閉包，可以使用沃舍爾算法，warshall 算法。擴展問題是過河問題。關於這兩個算法，單獨陳述。

離散數學之集合論【中】

離散數學之集合論【中】

一、有序組

二、關係

實數系統的構造與發展歷程

離散結構：圖論與樹

離散結構：圖論進階

基於信息流的安全格模型

圖論問題建模討論彙總

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