51Nod 提高組400+試題 第四組 種田

題目大意

$$　　給定一個面積 $n\times m$ 的區域，在其中放若干個邊長爲 $l$ 的正方形矩陣，使得每個正方形矩陣的邊緣與和其相鄰的正方形矩陣的邊緣(或相鄰的整個大的區域的邊緣)的距離都相等，求合法的方案數。
　　數據範圍　$1\leqslant n,m,l\leqslant 10^{13}$。

題解

$$　　你拿到這道題，想了很久，發現只會考慮樸素算法，你嘗試着枚舉一行放 $x$ 個正方形矩陣，一列放 $y$ 個矩陣，其中 $i\times l\leqslant n,j\times l\leqslant m$ 且 $i,j$ 都是正整數，你發現，這對 $\langle l,r\rangle$ 合法的充要條件是
$\frac{n-xl}{x+1}=\frac{m-yl}{y+1}$　　你考慮到除法可能會丟失精度，你化簡了一下，得到了一個優秀的式子和不優秀的暴力。
$(n-xl)(y+1)=(m-yl)(x+1)\tag{1}$

for(long long x=1;x*l<=n;x++)
	for(long long y=1;y*l<=m;y++)
		if((n-x*l)*(y+1)==(m-y*l)*(x+1))
			ans++;

$$　　你看着那行判斷，沉思許久，你發現對於任意滿足 $(1)$ 式的 $x$，都有唯一成立的 $y$。你嘗試把 $(1)$ 式拆開
$ny+n-xyl-xl=mx+m-xyl-yl$

$$　　化簡，整理，嘗試讓左邊只剩下 $y$。
$y=\frac{(m+l)x+m-n}{n+l}$

$$　　於是，你得到了一個優秀少許的做法，枚舉 $x$，判斷 $y$ 是不是正整數。

for(long long x=1;x*l<=n;x++)
	if(((m+l)*x+m-n)%(n+l)==0) ++ans;

$$　　你繼續化簡，發現沒有任何餘地，或者說，你的腦子根本不給你機會想到比這更優秀的做法，你開始放棄這種想法，並在爲幾秒鐘之前的自己白忙活了而感到幸災樂禍。你繼續考慮 $(1)$ 式，你嘗試將它變得更加優美一些。
$(m+l)x+(-n-l)y=n-m$　　你定眼一看，發現 $n,m,l$ 都是已知的，你令 $a=m+l,b=-n-l,c=n-m$　　問題變成了關於 $x,y$ 的一元二次方程$ax+by=c$　　的正整數解的個數，再 浪費時間 想想，你想到了擴展歐幾里得算法，並用它求出了不定方程的特解 $x_0,y_0$，還導出了所有解的通式
$\begin{cases} x=x_0+k\times \dfrac b{(a,b)}\\ y=y_0-k\times \dfrac{a}{(a,b)} \end{cases}$

$$　　你發現你要求的，便是使得 $x,y$ 均爲正整數的整數 $k$ 的個數。將這個限制代入，得
$\begin{cases} 1\leqslant x_0+k\times \dfrac b{(a,b)}\leqslant \left\lfloor\dfrac nl\right\rfloor\\ 1\leqslant y_0-k\times \dfrac{a}{(a,b)}\leqslant \left\lfloor\dfrac ml\right\rfloor \end{cases}$　　你分別討論了兩個式子化簡時乘除的東西的正負號，寫出了這樣的代碼。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int exgcd(int a,int b,long long &x,long long &y) {
	if(!b) return x=1,y=0,a;
	int d=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x; return d;
}
int Dioequ(int a,int b,int c,long long &x,long long &y){
	int d=exgcd(a,b,x,y);
	int k=c/d; x*=k;y*=k;
	return d;
}
int n,m,l;
signed main(){
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&l);
	int a=m+l,b=-n-l,c=n-m,x1,y1;
	int gcd=Dioequ(a,b,c,x1,y1);
	double la=(double)(1-x1)/(b/gcd);//計算第一條式子的左側<=1整理後的結果
	double lb=(double)(1-y1)/(-a/gcd);//計算第二條式子的左側<=1整理後的結果
	double ra=(double)(n/l-x1)/(b/gcd);//計算第以條式子的左側>=n/l整理後的結果
	double rb=(double)(m/l-y1)/(-a/gcd);//計算第二條式子的左側>=m/l整理後的結果
	if(-a/gcd<0) swap(lb,rb);//判斷正負
	if(b/gcd<0) swap(la,ra);
	int up=(int)floor(min(ra,rb));
	int dn=(int)ceil(max(la,lb));
	if(min(ra,rb)<max(la,lb)) return printf("0\n")==1;//判斷無解
	printf("%lld\n",up-dn+1);
	return 0;
}

$$　　你對這份代碼信心滿滿，並決定這份代碼交上去，本以爲需要調半天，結果發現過了……