斐波那契（Fibonacci）迭代法求解函數極值（附代碼）

目錄

Fibonacci數列：

迭代公式：

算法步驟：

例題

C++代碼：

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Fibonacci數列又稱黃金分割數列、因數學家列昂納多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖爲例子而引入，故又稱爲“兔子數列”，Fibonacci迭代法可以求解函數零點、函數極值等，本文用c++語言實現Fibonacci迭代法求解函數極值。

Fibonacci數列：

                                    

迭代公式：

                       

算法步驟：

step1.給定初始搜索區間和允許誤差，辨別係數，求解迭代次數n，使

                                       

step2.計算初始值

                               

step3.開始循環k=k+1，轉step4，若k>=n-2則退出循環，轉step7.

step4 判斷，是轉step5,否轉step6；

step5.令

              

              

              

step6.令

              

              

              

step7.令

          ，

          判斷，是，極小點所在的區間爲；否，極小點所在的區間爲

          極值點爲：                                                                   

                        

例題

求解函數在區間[-1,3]上的極小點，要求求解的區間不大於原始區間長度的0.0008倍。

程序求解結果如圖：

 

C++代碼：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <iomanip> 
using namespace std;
double fx(double x)
{
	double fx;
	fx = pow(x, 2) - x + 2;
	return fx;
}
int main()
{
	double epsilon = 0.08, f_min;
	vector<double>fn(2);
	fn[0] = 1; fn[1] = 1;
	int i;
	double a_fib = -1.0, b_fib = 3.0, f_lambda = 0, f_mu = 0;
	for (i = 2; fn[i - 1] < 1.0 / epsilon; i++)
	{
		fn.push_back(fn[i - 2] + fn[i - 1]);
	}
	int n_fib = i - 1;
	cout <<"n取值：    "<< n_fib <<endl << endl;
	double lambda = a_fib + (fn[n_fib - 2] / fn[n_fib])*(b_fib - a_fib), mu = a_fib + (fn[n_fib -1] / fn[n_fib])*(b_fib - a_fib);
	f_lambda = fx(lambda);
	f_mu = fx(mu);
	cout << "區間迭代：  " <<  endl;
	for (int i = 0; i < n_fib-2; i++)
	{
		if ( f_lambda<f_mu)
		{
			a_fib = a_fib, b_fib = mu, mu = lambda, f_mu = f_lambda;
			lambda = a_fib + (fn[n_fib - i - 3] / fn[n_fib-1 - i])*(b_fib - a_fib);
			f_lambda = fx(lambda);
		}
		else
		{
			a_fib = lambda, b_fib = b_fib, lambda = mu, f_lambda = f_mu;
			mu = a_fib + (fn[n_fib - i - 2] / fn[n_fib -1-i])*(b_fib - a_fib);
			f_mu = fx(mu);
		}
		cout << fixed << setw(12) << setprecision(5) << a_fib << fixed << setw(12) << setprecision(5) << lambda << fixed << setw(12) << setprecision(5) << mu << fixed << setw(12) << setprecision(5) << b_fib << endl;
	}
	mu = lambda + 0.001;
	f_mu = fx(mu);
	if (f_lambda < f_mu)
	{
		a_fib = a_fib, b_fib = mu,f_min=0.5*(fx(a_fib)+fx(b_fib));
	}
	else 
	{
		a_fib = lambda, b_fib = b_fib, f_min = 0.5*(fx(a_fib) + fx(b_fib));

	}
	cout << endl << "極小值區間：" << fixed << setw(9) << setprecision(5) << a_fib << fixed << setw(12) << setprecision(5) << b_fib << endl;
	cout << "極小值：  " << fixed << setw(12) << setprecision(5) << f_min << endl;
}