2.12 矩陣及乘法重要總結

重要總結

有三種角度看待矩陣 $A$ ：1、矩陣是線性變換， $A$ 是整體。2、矩陣是列向量的有序集合，$A = \left[ \mathbf{a_1},\mathbf{a_2},\cdots,\mathbf{a_n}\right]$ 。3、矩陣是行向量的有序集合，$A = \left[ \begin{matrix} \mathbf{a^T_{r1}} \\ \mathbf{a^T_{r2}} \\ \vdots \\ \mathbf{a^T_{rn}} \end{matrix} \right]$ 。

對應的有三種角度看待矩陣乘法，1、矩陣乘法是兩個線性變換的複合， $AB$ 。2、矩陣乘法是矩陣 $B$ 的列向量組的線性變換，變換矩陣爲 $A$ ， $AB=\left[ A\mathbf{b_1},\cdots,A\mathbf{b_p}\right]$ 。3、矩陣乘法是矩陣 $A$ 的行向量組的線性變換，變換矩陣爲 $B$ ， $AB = \left[ \begin{matrix} \mathbf{a^T_{r1}}B \\ \mathbf{a^T_{r2}}B \\ \vdots \\ \mathbf{a^T_{rn}}B \end{matrix} \right]$ 。

這三種角度需靈活運用，在不同的場合用不同的角度，可以簡化問題。