面試準備——DSP
經過信號與系統學習，我們知道連續的週期信號可以通過傅里葉級數的方式得到其頻譜爲離散的線狀譜，對於週期無限大的連續信號，可以通過傅里葉變換得到連續的頻譜。那麼DSP這門課將帶我們走進離散（週期or非週期）序列的頻譜是什麼樣子呢？
已知連續序列的變換函數：
離散序列的變換函數爲：
1. z變換與傅里葉變換的關係：傅立葉變換是單位圓上的Z變換，單位圓必須包含在收斂域中。當z變換收斂域包含單位圓時，可以根據z變換後的函數，將z=e^jw代入即可。
2.逆z變換的方法：部分分式展開、圍線積分法、冪級數法
3.系統函數H（z）的零極點分佈:
①零極點分佈將影響系統的頻率特性
極點影響幅頻特性的峯值，峯值頻率在極點的附近；
極點越靠近單位圓，峯值越高，越尖銳；
極點在單位圓上，峯值幅度爲無窮，系統不穩定。
零點影響幅頻特性的谷值，谷值頻率在零點的附近；
零點越靠近單位圓，谷值越接近零；
零點在單位圓上，谷值爲零。
處於座標原點的零極點不影響幅頻特性
該方法適於低階系統
②極點分佈影響系統的因果性和穩定性
因果性：因果序列Z變換的所有極點在以Rx-爲半徑的圓內。
穩定性:方法一：序列h(n)絕對可和，方法二：系統函數的收斂域包含單位圓
因果穩定系統：系統函數的極點在單位圓內，且收斂域包含單位圓
4.DFT提出的目的
序列的傅里葉變換、Z變換是時域離散信號及系統分析與設計的重要數學工具；但變換結果均爲連續函數，無法用計算機進行處理；離散傅里葉變換（DFT）對有限長時域離散信號的頻譜進行等間隔採樣，頻域函數被離散化了，便於信號的計算機處理。
5.DFT與DFS、ZT、FT的關係
①有限長序列x(n)的DFT變換X(k)，就是x(n)的週期延拓序列的DFS系的主值序列
②序列x(n)的N點DFT是 x(n)的Z變換在單位圓上的N點等間隔採樣；X(k)爲x(n)的傅立葉變換在區間[0,2pi]上的N點等間隔採樣
6.滿足L>M+N-1，循環卷積等價於線性卷積；且時域循環卷積轉換到頻域即爲頻域乘積
序列h（n）與x（n）的長度分別爲N和M，則其循環卷積結果yc（n）計算方法如下：
7.離散巴塞伐爾定理表明：序列在時域計算的能量等於其在頻域計算的能量
8.由X（k）恢復出x(n)的條件（即頻域採樣定理）
①x(n)序列長度有限
②採樣點數N大於x(n)序列長度M
9.由X（k）恢復出X(z)或者X（e^jw）（即內插公式）
10.基2FFT算法：將時域序列逐次分解爲一組子序列，利用旋轉因子的特性，由子序列的DFT來實現整個序列的DFT
11.帶通信號採樣:最低頻率fl，最高頻率fh，帶寬fb=fh-fl則若最高頻率fh=K*fb即爲帶寬的整數倍時，採樣頻率爲2fb即可。若fh不爲帶寬整數倍，則需要降低fl即擴展帶寬即可。
12.用DFT（FFT）對模擬信號進行譜分析的誤差來源：頻譜混疊（增加預濾波器）、柵欄效應（增加採樣點數）、截斷效應（改變窗函數形狀，增大主瓣能量）
13.數字濾波器的可實現性
①因果穩定，系統傳輸函數的極點都在單位圓內
②實數乘法，系統函數的係數爲實數，即零極點須共軛成對出現，或者是實數
14.理想濾波器是個物理不可實現的非因果系統
原因：從h(n)看，n<0時已有值。
15.簡單濾波器的設計
基於零極點配置的的簡單濾波器設計方法
原理：
①極點靠近單位圓，頻率響應的峯值越高；極點放在需加強的頻率點附近
②零點靠近單位圓，頻率響應的谷值越小；零點放在需減弱的頻率點附近
約束條件：
①極點在單位圓內，保證濾波器的因果穩定；
②零、極點須共軛成對，或者是實數，保證系統函數係數爲實數。
16最小相位濾波器
因果、穩定的離散系統H(z)要求極點必須全部位於單位圓內，而對零點的位置沒有要求，可以在圓內，也可以在圓上或是圓外。這樣
如果該系統的零點全部在單位圓內，稱該系統爲最小相位系統。
如果該系統的零點全部在單位圓外，稱該系統爲最大相位系統。
如果圓內和圓外都有零點，稱該系統爲混合相位系統
17.任何一個非最小相位系統的系統函數H(z)均可以由一個最小相位系統和一個全通系統級聯而成
意義：將系統位於單位圓外的零（極）點用共軛倒易的點代替時，不會影響系統的幅頻響應特性。這一點在濾波器設計中，將單位圓外的極點用其鏡像代替，確保DF因果穩定
作用：利用級聯全通函數的方法，可將非最小相位系統的零點反射到單位圓內，而構成幅度響應相同的最小相位延時系統。
18.典型濾波器
巴特沃斯（Butterworth）濾波器：具有單調下降的幅頻特性；
切比雪夫（Chebyshev）濾波器：幅頻特性在通帶或阻帶有波動，可提高選擇性；大約3/4通帶接近線形相位；
貝塞爾（Bessel）濾波器：通帶內較好的線性相位；
橢圓（Ellipse）濾波器：通帶和阻帶內波紋固定時，階數越高，過渡帶越窄。較好的線性相位。大約1/2通帶接近線形相位；
19.典型濾波器對比
1.相同指標下，橢圓濾波器階次最低，切比雪夫次之，巴特沃思最高，參數的靈敏度則恰恰相反。
2.相同通帶最大衰減、阻帶最小衰減，巴特沃思濾波器的過渡帶最寬；橢圓濾波器過渡帶最窄；
3.切比雪夫1濾波器通帶等波紋幅頻特性，過渡帶和阻帶單調下降，大約3/4通帶接近線性相位；
切比雪夫2濾波器阻帶等波紋幅頻特性，通帶和過渡帶單調下降，大約3/4通帶接近線性相位；
4.橢圓濾波器通帶、阻帶等波紋幅頻特性，過渡帶單調下降，僅在1/2通帶接近線性相位
20.設計濾波器時考慮的指標：通帶邊界頻率、阻帶邊界頻率、通帶最大衰減、阻帶最小衰減
21.IIR數字濾波器設計
間接法設計過程：
1.確定數字濾波器的指標
2.轉換成過渡模擬濾波器的指標
3.設計過渡模擬濾波器
4.將過渡模擬濾波器轉換爲數字濾波器
其中第四步將過渡模擬濾波器轉換爲數字濾波器的要求有：保證因果穩定性（即將左半平面映射到單位圓內）、H（z）的頻響要能模仿Ha(s)的頻響（即將虛軸映射到單位圓上）
兩種常用的映射變換方法：脈衝響應不變法、雙線性變換法
21.1.脈衝響應不變法
基本思想：使數字濾波器能模仿模擬濾波的特性；
從濾波器的脈衝響應出發，使數字濾波器的單位脈衝響應序列h(n)正好等於模擬濾波器的衝激響應ha(t)的採樣值。
數字濾波器的頻響並不是簡單的重現模擬濾波器的頻響，而是模擬濾波器頻響的週期延拓
脈衝響應不變法的最大缺點：有頻譜週期延拓效應，因此只能用於帶限的頻響特性，如衰減特性很好的低通或帶通，而高頻衰減越大，頻響的混淆效應越小，至於高通和帶阻濾波器,由於它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應中，此時可增加一保護濾波器，濾掉高於ws/2的頻帶，再用脈衝響應不變法轉換爲數字濾波器，這會增加設計的複雜性和濾波器階數，只有在一定要滿足頻率線性關係或保持網絡瞬態響應時才採用。
21.2.雙線性變換法（克服脈衝響應不變法的頻譜混疊現象）
基本設計思想：
脈衝響應不變法：波形逼近
雙線性變換法：算法逼近。用線性常係數差分方程逼近線性常係數微分方程
缺點：非線性關係消除了頻率混疊，但會帶來幅度和相位失真。
22.【總結】四種線性相位FIR DF特性
第一種情況 ，h(n)偶、N奇，四種濾波器都可設計
第二種情況， h(n)偶、N偶，可設計低、帶通濾波器，不能
設計 高通和帶阻。
第三種情況， h(n)奇、N奇，只能設計帶通濾波器，其它濾
波器都不能設計。
第四種情況， h(n)奇、N偶，可設計高通、帶通濾波器，不
能設計低通和帶阻。
四種FIR數字濾波器的相位特性只取決於h(n)的對稱性，而與h(n)的值無關。幅度特性取決於h(n)。設計FIR數字濾波器時，在保證h(n)對稱的條件下，只要完成幅度特性的逼近即可。
23.FIR濾波器的設計方法
1.基於逼近理想濾波器特性的方法有以下三種：
窗函數法（時域逼近）
頻率採樣法（頻域逼近）
等波紋最佳逼近法（等波紋逼近）
2.最優設計法
設計思想:保證線性相位,逼近理想濾波器
23.1窗函數法（時域逼近）設計FIRDF
設計過程：
1.構造希望逼近的理想濾波器，如：理想低通濾波器
2.求hd（n），其爲無限長、非因果
3.用窗函數法設計FIR濾波器，時域加窗
其中第三步用窗函數法設計FIR濾波器：
選擇窗函數的類型和長度方法：
①根據阻帶最小衰減 選擇窗函數的類型
原則是：在保證阻帶衰減滿足要求的情況下，儘量選擇主瓣窄的窗函數。
②根據過渡帶的寬度選擇窗函數的長度
23.1.1對hd（n）加矩形窗處理後，其頻率響應的幾點影響：
①改變了理想頻響的邊沿特性，形成過渡帶
②通帶、阻帶均有紋波，紋波取決於旁瓣，旁瓣幅度大，紋波幅度大，與窗口長度 N無關。（決定於窗口形狀）
且需要明確：
①N增加,過渡帶寬減小,肩峯值不變。
②N的變化不能改變主瓣與旁瓣的比例關係，只能改變絕對值大小和起伏的密度，當N增加時，幅值變大，起伏變密，而最大肩峯永遠爲8.95%，這種現象稱爲吉布斯（Gibbs）效應。
總結：選擇窗函數的要求：
① 窗譜主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶；
② 相對於主瓣幅度，旁瓣要儘可能小，使能量儘量集中在主瓣中，這樣就 可以減小肩峯和餘振，以提高阻帶衰減和通帶平穩性。
然而，實際上這兩點不能兼得，一般總是通過增加主瓣寬度，即加寬過渡帶爲代價，來換取對旁瓣的抑制。
23.1.典型的窗函數
矩形窗
三角窗
升餘弦（漢寧）窗
改進升餘弦（哈明）窗
布萊克曼窗
凱塞窗：以上五種窗函數，濾波器的阻帶衰減是固定的。不同的窗函數通過增加主瓣寬度爲代價來降低旁瓣。凱塞窗則可自由選擇主瓣寬度和旁瓣衰減；對於給定指標，其濾波器階數最小
24.頻率採樣法設計FIRDF
設計步驟：
1.根據阻帶最小衰減，選擇過渡帶採樣點的個數m
2.確定過渡帶寬度，估算濾波器長度N
3.構造希望逼近的頻率響應函數
4.頻域採樣 H(k)
5.求h(n)
6.檢驗設計結果，微調邊界頻率
頻率採樣設計法的優點：
① 直接從頻域進行設計，物理概念清楚，直觀方便；可以設計任意形狀頻率響應特性的FIRDF；
② 適合於窄帶濾波器設計，這時頻率響應只有少數幾個非零值。
典型應用：用一串窄帶濾波器組成多卜勒雷達接收機，覆蓋不同的頻段，多卜勒頻偏可反映被測目標的運動速度；
缺點：截止頻率難以控制。
因頻率取樣點都侷限在2π/N的整數倍點上，所以在指定通帶和阻帶截止頻率時，這種方法受到限制，比較死板。 充分加大N，可以接近任何給定的頻率，但計算量和複雜性增加。
25.IIR與FIR數字濾器的比較
26.時域離散系統的實現
均由延遲、乘法、加法實現
- FIR數字濾波器的網絡結構
直接型結構
級聯型結構
線性相位型結構
頻率取樣型結構
快速卷積法 - IIR數字濾波器的基本結構
直接型結構
級聯型結構
並聯型結構