現代通信原理6.1 常規調幅調製(AM)與抑制載波雙邊帶(DSB-SC)調製

1、引言

  考慮我們用麥克風採集語音信號，完成聲-電轉換，得到的電信號頻率範圍在20Hz~20kHz之間，顯然屬於低通信號。語音（電）信號爲模擬隨機信號，取值和時間上都是連續的，我們用$m(t)$表示。圖1中，我們用錄音機獲取了周杰倫新歌《說好不哭》大約24s的音頻，左邊圖爲波形，右邊爲頻率。不難看出，主要頻率集中在零頻到7kHz之間。

圖1 模擬基帶信號

  現在的問題是，如果我們想把類似圖1中的這樣的基帶信號輻射到空間中，即採用無線方式進行傳輸，我們需要一定長度的天線。作爲估算，一般來說我們認爲天線長度需要等於無線電波長的$\frac{1}{4}$（當然真正做天線設計時需要更準確的計算），這就意味着，如果我們的基帶信號頻率爲3kHz，波長$\lambda=\frac{c}{f}$，這裏的$f=3$kHz爲信號頻率，$c=3\times 10^8$m/s爲光速，因此天線長度大約需要2.5km，顯然這是不可能的。如果我們把信號頻率提升到300MHz，則天線長度只需要0.25m。
  我們還可能遇到這樣一個問題。在無線傳輸中，由於所有無線信號都在空中疊加，因此會產生嚴重干擾，因此需要通過無線電管理，爲不同系統分配不同帶寬。以4G移動通信系統爲例，包括1880-1900MHz、2320-2370MHz、2575-2635MHz等。這也意味着，我們需要將低通語音或者數字信號的頻率升高，變爲帶通信號，才能夠在分配的頻段內傳輸。當然，在接收端需要將信號從帶通再進行下搬移，變回低通信號。而這種低通變帶通，帶通變低通的過程，就稱爲信號的調製與解調。
  這一講，主要介紹模擬幅度調製，包括常規調幅調製(AM)、抑制載波雙邊帶(SSB-SC)調製以及單邊帶(SSB)調製。

2、常規調幅調製(AM)調製器模型

  AM調製器模型如圖1(a)所示。顯然有
$\tag{1} s_{\rm AM}(t)=A_c[1+m(t)]\cos 2\pi f_ct.$進一步，我們定義調幅指數
$\tag{2} \beta_{\rm AM}=\max|m(t)|.$

圖1 AM與DSB調製器模型

我們來看三種不同的調幅指數取值情況，即$\beta_{AM}<1$、$\beta_{AM}=1$以及$\beta_{AM}>1$的情況，如圖2所示，其中(a)、(b)分別爲基帶信號和載波信號波形；(c )、(d)、(e)、(f)中調幅指數$\beta_{AM}$分別等於0.5、1、2和5。

圖2 不同調幅指數時的AM系信號波形

  事實上，AM調製的最大優點是接收機簡單，可以採用包絡檢波法。這裏我們不擬詳述AM包絡檢波的詳細過程，只在圖3中給出示意，不難看出，二極管、電容和電阻即可構成包絡檢波器，通過電容充放電就可以跟隨已調信號包絡變化，而這裏的包絡，即(1)中的信號幅度$A_c[1+m(t)]$。

圖3 AM包絡檢波過程

當AM信號的調幅指數$\beta_{\rm AM}>1$時，包絡檢波會發生錯誤，如圖4所示。此時，由於$1+m(t)$可能小於零，導致包絡檢波輸出$|1+m(t)|$與之不等，故無法正確恢復出$m(t)$。

圖4 調幅指數大於1時包絡檢波出現錯誤

3、AM信號的傅立葉變換

  根據(1)，我們可以得到AM信號的頻譜密度爲
$\tag{3} M(f)=\frac{A_c}{2}[\delta(f-f_c)+\delta(f+f_c)]+\frac{A_c}{2}[M(f-f_c)+M(f+f_c)].$其示意圖如圖5所示，這裏$M(f)$爲基帶信號頻譜，這裏假定其最大頻率（帶寬）爲$B$，顯然AM信號包含兩個部分，一是離散載波，在$f_c$處的衝激；二是邊帶信號，包括上邊帶（大於$f_c$)和下邊帶（小於$f_c$)。由於包含上下兩個邊帶，已調的AM信號帶寬爲2B，因此我們稱AM爲雙邊帶信號。

圖5 AM信號頻譜密度示意圖

4、AM信號功率與調製效率

  下面我們來求AM信號的平均功率，有
$\tag{4} \begin{aligned} \overline{s^2_{\rm AM}(t)}&=\overline{A_c^2[1+m(t)]^2\cos^2 2\pi f_ct}\\ &=\frac{1}{2}A_c^2\overline{[1+m(t)]^2}+\frac{1}{2}A_c^2\overline{[1+m(t)]^2\cos 4\pi f_ct},\\ \end{aligned}$由於相對於$\cos 4\pi f_ct$，$m(t)$的變化要緩慢得多，因此可以近似認爲在$\cos 4\pi f_ct$的一個週期之內，正負半周可以相互抵消，故上式中的第二項可以近似爲0。進一步，我們有
$\tag{4} \begin{aligned} \overline{s^2_{\rm AM}(t)}&=\frac{1}{2}A_c^2\overline{[1+m(t)]^2}\\ &=\frac{1}{2}A_c^2+\frac{1}{2}A_c^2\overline{m^2(t)}+A_c^2\overline{m(t)}, \end{aligned}$我們一般假定$m(t)$爲純交流信號，即$\overline{m(t)}=0$，因此有AM信號的平均功率爲
$\tag{4} \begin{aligned} P_{\rm AM}&=P_c+P_m\\ &=\frac{1}{2}A_c^2+\frac{1}{2}A_c^2\overline{m^2(t)}, \end{aligned}$這裏，$P_c=\frac{1}{2}A_c^2$以及$P_m=\frac{1}{2}A_c^2\overline{m^2(t)}$分別稱爲載波功率和邊帶功率。顯然，只有邊帶功率是用來傳輸基帶信號$m(t)$的，據此，我們定義AM信號的調製效率爲
$\tag{4} \begin{aligned} \eta_{\rm AM}&=\frac{P_m}{P_c+P_m}=\frac{\frac{1}{2}A_c^2\overline{m^2(t)}}{\frac{1}{2}A_c^2+\frac{1}{2}A_c^2\overline{m^2(t)}}\\ &=\frac{\overline{m^2(t)}}{1+\overline{m^2(t)}}. \end{aligned}$

【思考題1】請問$m(t)$爲什麼波形時調製效率最高？此時調製效率爲多少？
【思考題2】如果$m(t)=a\cos 2\pi f_mt$爲單音信號，則$a$等於多少是可以得到最大的調製效率？此最大調製效率等於多少？

5、抑制載波雙邊帶(DSB-SC)調製

  抑制載波雙邊帶調製(double sideband suppressed carrier, DSB-SC)調製器如圖1(b)所示。顯然，與AM不同之處在於，DSB-SC直接用$m(t)$進行調製，其已調信號的時域與頻域表達式分別爲
$\begin{aligned} s_{\rm DSB}(t)&=m(t)\cos 2\pi f_ct,\\ S_{\rm DSB}(f)&=\frac{A_c}{2}[M(f-f_c)+M(f+f_c)]. \end{aligned}$DSB-SC信號的傅立葉變換與AM相比，沒有載頻處的衝激，只有邊帶成分。顯然，DSB-SC信號的平均功率爲
$\tag{4} \begin{aligned} P_{\rm DSB}&=\frac{1}{2}A_c^2\overline{m^2(t)}. \end{aligned}$