現代通信原理5.2：帶通信號的（復包絡）低通表示

1、解析信號

  對於實信號$x(t)$，我們定義其解析信號爲
$\tag{1} z_x(t)=x(t)+j\hat x(t),$顯然，$x(t)$的解析信號的實部爲$x(t)$，其虛部爲$x(t)$的希爾伯特變換$\hat x(t)$，即$x(t)={\mathcal Re}[z_x(t)]$，$\hat x(t)={\mathcal Im}[z_x(t)]$。進一步我們可以得到解析信號的傅里葉變換爲
$\tag{2} \begin{aligned} Z_x(f)&=X(f)+j\hat X(f)\\ &=X(f)+j[-j{\rm sgn}(f)X(f)]\\ &=[1+{\rm sgn}(f)]X(f). \end{aligned}$若$x(t)$爲帶通信號，且中心頻率爲$f_0$，帶寬爲$B$，頻譜示意圖如圖1中(a)所示。則其解析信號$z(t)$的傅里葉變換如圖1(b)所示，顯然正頻率成分變爲原來兩倍，不再有負頻率成分。

圖2

2、復包絡

  進一步，我們定義實信號$x(t)$的復包絡爲
$x_L(t)=z_X(t)e^{-j2\pi f_0t},$其頻譜爲
$X_L(f)=Z_x(f+f_0).$從圖2(c )中可以看出，$X_L(f)$是將$Z_x(f)$向負頻率軸方向搬移$f_0$，這裏的$f_0$爲$x(t)$的中心頻率。對比圖1(a)和( c)，我們不難發現，對於帶通信號$x(t)$來說，其復包絡信號是將其頻譜的中心點從$f_0$搬移到零頻率處，因此將帶通信號$x(t)$變成了低通信號$x_L(t)$，故我們稱復包絡$x_L(t)$爲帶通信號$x(t)$的低通表示。
  一般來說，復包絡$x_L(t)$有兩種不同的表示方法，同相-正交形式，以及包絡-相位形式。

• 同相-正交形式
  $x_L(t)=x_c(t)+jx_s(t),$這裏實部$x_c(t)$與與虛部$x_s(t)$分別稱爲復包絡的同相與正交分量，顯然它們也是低通實信號。
• 包絡-相位形式
  $x_L(t)=a(t)\angle\theta(t),$這裏$a(t)$與$\angle\theta(t)$分別稱爲復包絡的包絡與相位，顯然有下列關係成立
  $\begin{aligned} a(t)&=\sqrt{x_c^2(t)+x_s^2(t)},\\ \theta(t)&=\tan{\Large[}\frac{x_s(t)}{x_c(t)}{\Large]}. \end{aligned}$

3、帶通信號的等效低通表示

  基於上面的討論，我們可以將帶通信號$x(t)$分別用復包絡同相-正交以及包絡-相位兩種形式表示爲
$\begin{aligned} x(t)&={\mathcal Re}[z_x(t)]\\ &={\mathcal Re}[x_L(t)e^{j2\pi f_0t}]\\ &={\mathcal Re}{\Large \{}[x_c(t)+jx_s(t)][\cos2\pi f_0t+j\sin 2\pi f_0t]{\Large \}}\\ &=x_c(t)\cos2\pi f_ct-x_s(t)\sin2\pi f_ct \end{aligned}$以及
$x(t)=a(t)\cos[2\pi f_0(t)+\theta(t)].$