【BZOJ 3560】【數論】DZY Loves Math V

題目大意：

給定n個正整數a1,a2,…,an，求下方式子的值（答案模10^9+7）。

題目解析：

首先，因爲歐拉函數是積性函數，對於每一個ϕ(i1i2i3...in) 我們可以將其分解質因數，對於質因數p ，bi 表示ai 中質因數p 的數量。
方程變成

Πp(∑i1=0b1∑i2=0b2...∑in=0bnp∑nj=1ij−1)∗p−1p+1

本來歐拉函數求篩法時某一個質數第一次出現乘p−1 ，其他的乘p ，這裏我們把p−1 先換成p ，統計完再換回來。至於那個減一是因爲ϕ(1) 被統計了，故減去。
再次變換就可以得到：

Πp(ΠNi=1∑j=0bi(pj)−1)∗p−1p+1

於是我們只需要預處理出pj 的前綴和，然後枚舉因數統計即可。

/**************************************************************
    Problem: 3560
    User: szpszp
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:4344 ms
    Memory:15356 kb
****************************************************************/

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define MAXN 100000
#define MAXM
#define INF 0x3f3f3f3f
typedef long long int LL;
const LL MOD = 1000000007ll;

template<class T>
void Read(T &x){
    x=0;char c=getchar();bool flag=0;
    while(c<'0'||'9'<c){if(c=='-')flag=1;c=getchar();}
    while('0'<=c&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    if(flag)x=-x;
}

struct node{
    LL num,cnt;
    bool operator < (const node &a)const{
        if(num!=a.num)return num<a.num;
        else return cnt<a.cnt;
    }
};

int N;
node tmp[MAXN*9+10];
int len;

void Get_Divisor(int x){
    for(int i=2;i*i<=x;++i)
        if(x%i==0){
            tmp[++len].num=i;
            do{
                ++tmp[len].cnt;
                x/=i;
            }while(x%i==0);
        }
    if(x!=1)tmp[++len].num=x,tmp[len].cnt=1;
}

LL ksm(LL a,LL p){
    LL rn=1;
    while(p){
        if(p&1)rn=(rn*a)%MOD;
        a=(a*a)%MOD;
        p>>=1;
    }
    return rn;
}

LL sum[30];
LL GetAns(int l,int r){
    LL p=tmp[l].num;
    LL rn=1;
    sum[0]=1;
    for(int i=1;i<=tmp[r].cnt;++i)
        sum[i]=sum[i-1]*p%MOD;
    for(int i=1;i<=tmp[r].cnt;++i)
        sum[i]=(sum[i]+sum[i-1])%MOD;
    for(int i=l;i<=r;++i)
        rn=(rn*sum[tmp[i].cnt])%MOD;

    --rn;
    rn=(rn*ksm(p,MOD-2))%MOD;
    rn=(rn*(p-1)+1)%MOD;

    return rn;
}

int main(){
    Read(N);
    int x;
    for(int i=1;i<=N;++i){
        Read(x);
        Get_Divisor(x);
    }

    sort(tmp+1,tmp+len+1);

    LL ans=1;
    int last=1;
    for(int i=1;i<=len;++i){
        if(i==len||tmp[i].num!=tmp[i+1].num){
            ans=(ans*GetAns(last,i))%MOD;
            last=i+1;
        }
    }

    printf("%lld\n",(ans%MOD+MOD)%MOD);
}