算法設計與分析1——緒論

一、算法理論的兩大論題：算法設計、算法分析

1. 算法設計---對於一個問題如何設計一個有效的算法

2. 算法分析---如何評價或判斷一個算法的優劣

二、爲什麼要學習算法

理由1：算法——程序的靈魂

問題的求解過程：

分析問題→設計算法→編寫程序→整理結果

程序設計研究的四個層次：

算法→方法學→語言→工具

理由2：提高分析問題的能力

算法的形式化→思維的邏輯性、條理性

三、算法五大特性：輸入、輸出、有窮性、確定性、可行性

四、算法的幾種描述方法：

⑴ 自然語言

優點：容易理解

缺點：冗長、二義性

使用方法：粗線條描述算法思想

注意事項：避免寫成自然段

⑵ 流程圖

優點：流程直觀

缺點：缺少嚴密性、靈活性

使用方法：描述簡單算法

注意事項：注意抽象層次

⑶ 程序設計語言

優點：能由計算機執行

缺點：抽象性差，對語言要求高

使用方法：算法需要驗證

注意事項：將算法寫成子函數

⑷ 僞代碼——算法語言

僞代碼（Pseudocode）：介於自然語言和程序設計語言之間的方法，它採用某一程序設計語言的基本語法，操作指令可以結合自然語言來設計。

優點：表達能力強，抽象性強，容易理解

五、算法設計的一般過程

1．理解問題

2．預測所有可能的輸入

3. 在精確解和近似解間做選擇

4. 確定適當的數據結構

5．算法設計技術

6．描述算法

7．跟蹤算法

8．分析算法的效率

9．根據算法編寫代碼

六、算法分析

算法分析：對算法所需要的兩種計算機資源——時間和空間進行估算

即時間複雜性和空間複雜性

 

時間複雜性分析的關鍵：

問題規模：輸入量的多少；

基本語句：執行次數與整個算法的執行時間

                       成正比的語句

for (i=1; i<=n; i++)            問題規模：n
 for (j=1; j<=n; j++)           基本語句：x++
         x++;

 

 

算法分析的目的：

設計算法——設計出複雜性儘可能低的算法

選擇算法——在多種算法中選擇其中複雜性最低者

 

漸進符號

1、大O符號：定義1.1  若存在兩個正的常數c和n0，對於任意n≥n0，都有T(n)≤c×f(n)，則稱T(n)=O(f(n))，或稱算法在O(f(n)中。

2、大Ω符號：定義1.2  若存在兩個正的常數c和n0，對於任意n≥n0，都有T(n)≥c×g(n)，則稱T(n)=Ω(g(n))

3、大Θ符號：定義1.3 若存在三個正的常數c1、c2和n0，對於任意n≥n0都有c1×f(n)≥T(n)≥c2×f(n)，則稱T(n)=Θ(f(n))

 

最好、最壞和平均情況

最好情況：出現概率較大時分析

最差情況：實時系統

平均情況：已知輸入數據是如何分佈的，通常假設等概率分佈

 

算法：非遞歸算法和遞歸算法

非遞歸算法分析的一般步驟

關鍵：建立一個代表算法運行時間的求和表達式，然後用漸進符號表示這個求和表達式。

1. 決定用哪個（或哪些）參數作爲算法問題規模的度量

2. 找出算法中的基本語句

3. 檢查基本語句的執行次數是否只依賴於問題規模

4. 建立基本語句執行次數的求和表達式

5. 用漸進符號表示這個求和表達式

遞歸算法分析

 

關鍵：根據遞歸過程建立遞推關係式，然後求解這個遞推關係式。

 

1、猜測技術   2、擴展遞歸技術   3、通用分治遞推式

 

算法的後驗分析：算法的後驗分析（Posteriori）也稱算法的實驗分析，它是一種事後計算的方法，通常需要將算法轉換爲對應的程序並上機運行。

 

一般步驟：

1. 明確實驗目的 
2. 決定度量算法效率的方法，爲實驗準備算法的程序實現
3. 決定輸入樣本，生成實驗數據
4. 對輸入樣本運行算法對應的程序，記錄得到的實驗數據
5. 分析得到的實驗數據