組合數學-Chapter V: 圖論補充

Chapter V-1: 圖論補充

本文內容爲 Chapter V: 圖論的內容補充. 在本章中, 我們還將先後介紹交錯圖, 進一步介紹Ramsey定理, 引入多個新概念, Mantel 定理, Turan 定理, 圖的染色, Hall 定理和 SDR 定理.

引理 5-1.1

設 $P_1, P_2$ 爲連通同一對頂點的兩條不同的路, 則 $P_1 \cup P_2$ 中含一個圈.
進一步, 若 $P_1, P_2$ 含有長度不同的分割, 則 $P_1\cup P_2$ 含奇圈.

[證明]

對 $P_1, P_2$ 的共同頂點數 $t$ 應用數學歸納法. 顯見, $t = 2$ 時結論成立.

設 $P_1= x_1x_2\cdots x_l$, $P_2 = y_1y_2\cdots y_m$, 且 $x_1 = y_1, x_l = y_m$.

設 $h >1$, $h$ 爲使得 $x_h$ 在 $P_2$ 上的最小指標, 並設 $x_h = y_p$.

$P_1[x_1,x_h]$ 和 $P_2[y_1,y_p]$ 是兩條路. 連接 $x_1,x_h$, 並且由
$V(P_1[x_1,x_h]) \cap V(P_2[y_1,y_p]) = \{x_1,x_h\}$
若 $P_1[x_1,x_h]$ 和 $P_2[y_1,y_p]$是兩條 不同的 路, 則這兩條路一起構成一個環.

若不然, 假設這兩條路實際上是同一條. 則有 $P_1[x_h,x_l], P_2[y_p,y_m]$ 爲連通同一對頂點的兩條不同的路, 只不過長度稍短.

綜上可知, 根據數學歸納法, 原結論對於任意正整數 $t$ 均成立.

下面證明引理的第二部分:

假設 $P_1, P_2$ 有不同長度的分割. 若 $P_1[x_1,x_h], P_2[y_1,y_p]$ 有長度不同的分割, 則所構造的圈 $P_1[x_1,x_h] \cup P_2[y_1,y_p]$ 長度爲奇數. 否則, $P_1[x_h,x_l], P_2[y_p,y_m]$ 有長度不同的分割. 由歸納得: 它們的並有一個長度爲奇數的圈. $\blacksquare$

定理 5-1.1

圖 $G$ 是二部圖 $\Leftrightarrow$ $G$ 中不存在奇圈.

[證明]

$"\Rightarrow"$

二部圖的子圖均爲二部圖. 由於奇圈必不爲二部圖, 故若 $G$ 爲二部圖, $G$ 中必不存在奇圈.

$"\Leftarrow"$

設 $G$ 中不存在奇圈. 不失一般性, 設 $G$ 是連通的. 則 $G$ 必有一個生成樹 $T$. 設 $x$ 爲 $G$ 中任意的一個頂點, 我們將 $V(G)$ 分爲 $X$ 和 $Y$, 使得當且僅當位於生成樹 $T$ 中的, $X$ 中每一個頂點到 $x$ 的路長度均爲偶數.

並且, 宣稱 $G$ 中不存在和 $X$ 或 $Y$ 中兩個頂點相鄰的邊.

由對稱性: 只需要確保 $X$ 中每一對頂點都不是鄰接的即可.

如果並非如此, 設 $x_1, x_2$ 爲 $X$ 中鄰接的一對頂點. 設 $P_i$, $1\leqslant i \leqslant 2$, 爲生成樹 $T$ 中從 $x$ 到 $x_i$ 的路. 則$P_1, P_2$ 長度均爲偶數. 不失一般性, 假設 $x_1$ 不在 $P_2$ 上.

於是 $P_1$ 和 $P_2 + x_1x_2$ 爲兩條都連接了 $x, x_1$ 的長度不同的路.

由引理: $P \cup (P_2 + x_1x_2)$ 中存在一個奇圈, 它也是 $G$ 中的一個奇圈, 矛盾. $\blacksquare$

推論: 二部圖的判定算法是可以在多項式時間內得出結果的.

設 $G$ 爲一個圖, $H$ 爲 $G$ 的一個子圖.

定義5-1.1 (團)

若 $H$ 爲完全圖, 稱 $V(H)$ 爲 $G$ 的一個 團.

定義5-1.2 (穩定集)

若 $H$ 中不含邊, 則 $V(H)$ 爲 $G$ 的一個 穩定集.

引入以上定義後, 定理 5-1.1 可如下敘述:

若 $G$ 的頂點集可被劃分爲兩個穩定集, 則 $G$ 是一個二部圖.

我們可以在多項式時間內判斷, 給定的圖 $G$ 的頂點集 $V(G)$ 能否被劃分爲兩個穩定集. 但是, 對於 $k \geqslant 3$ 的情形, 判斷 $V(G)$ 能否被劃分爲 $k$ 個穩定集就是一個NPC問題.

定義5-1.3 (k部圖)

若圖 $G$ 的頂點集可被劃分爲 $k$ 個穩定集, 則稱其爲 k部圖.

1. Ramsey 定理

Ramsey 定理的不同敘述方式:

[1]

設 $k,l$ 爲兩個正整數. 則必存在一個最小正整數 $R(k,l)$, 使得在每一個 $R(k,l)$ 人組成的羣體中, 要麼可以找到 $k$ 個相互認識的人, 要麼可以找到 $l$ 個相互不認識的人.

[2] (有問題)

設 $k,l$ 爲兩個正整數. 則必存在一個最小正整數 $R(k,l)$, 使得對於每一個大小爲 $R(k,l)$ 的集合 $X$, 以及由 $X$ 的一組二元子集所組成的集合 $\mathscr{H}$, 要麼存在一個大小爲 $k$ 的子集 $S \subset X$, $S$ 的所有二元子集均在 $\mathscr{H}$ 中, 或者存在一個大小爲 $l$ 的子集 $T$, 其所有的二元子集均不在 $\mathscr{H}$ 中.

[3]

設 $k,l$ 爲兩個正整數. 則必存在一個最小正整數 $R(k,l)$, 使得對於每一個在 $R(k,l)$ 個頂點上的圖 $G$, 要麼 $G$ 包含大小爲 $k$ 的團, 要麼 $G$ 的補圖 $G^C$ 包含大小爲 $l$ 的團.

定義5-1.4 (補圖)

設圖 $G$. 對其補圖 (Complement) $G^C$ 作如下定義:

1. $V(G^C) = V(G)$.
2. $E(G^C) = \{uv: u,v \in V(G^C), uv \notin E(G)\}$.

[4]

設 $k,l$ 爲兩個正整數. 則必存在一個最小正整數 $R(k,l)$, 使得: 任意使用兩種顏色 $A,B$ 對圖 $K_{R(k,l)}$ 的邊上色, 要麼可以找到一個大小爲 $k$ 的團, 其所有的邊都染上了顏色 $A$, 要麼可以找到一個大小爲 $l$ 的團, 其所有的邊都染上了顏色 $B$.

[一般形式的Ramsey定理]

設 $H_1, H_2,\cdots, H_l$ 爲圖. 則必存在一個最小正整數 $R(H_1,H_2,\cdots,H_l)$, 使得: 使用顏色 $c_1,c_2,\cdots,c_l$ 對圖 $K_{R(H_1,H_2, \cdots ,H_l)}$ 的邊任意染色, 總能找到一個 $i$, $H_i$ 是一個單色圖.

2. Mantel 定理

定理5-1.2 (Mantel定理)

每個包含 $n$ 個頂點和不少於 $\lfloor\frac{n^2}{4}\rfloor$ 條邊的圖都包含子圖 $K_3$.

[證明]
設 $G$ 爲不含 $k_3$ 的, 包含 $n$ 個頂點的圖. 要證明定理, 只需說明, $E(G) \leqslant \lfloor\frac{n^2}{4}\rfloor$.

設 $xy$ 爲 $G$ 的一條邊. 因爲 $G$ 不含 $K_3$,
故
$N(x)\cap N(y) = \empty. (鄰接點集交集爲空集)$
因此:
$d(x) + d(y)\leqslant n.$
對於所有的邊, 均存在這樣的不等式. 累加可得:
$\sum_{xy \in E(G)}(d(x) + d(y)) \leqslant \sum_{xy \in E(G)}n = n\cdot |E(G)|.$
在不等式左側: 每一個 $d(x)$ 恰好出現了 $d(x)$ 次, 這與和 $x$ 鄰接的邊數相對應.

並且知:
$\sum_{xy \in G}(d(x) + d(y)) = \sum_{x \in V(G)}d^2(x)$
由 $Cauchy-Schwarz$ 不等式:
$(\sum_{i = 1}^nx_iy_i)^2 \leqslant \sum_{i=1}^{n}x_i^2\cdot \sum_{i=1}^{n}y_i^2$
故
$n\cdot |E(G)|\geqslant\sum_{x\in V(G)}d^2(x)\geqslant \frac{1}{n}(\sum_{x \in V(G)}d(x))^2 = \frac{4|E(G)|^2}{n}.$
故有
$|E(G)| \leqslant \lfloor \frac{n^2}{4}\rfloor.$
$\blacksquare$

由 $Cauchy-Schwarz$ 不等式取等條件可知: 唯一的, 不含 $K_3$ 的, 有 $n$ 個頂點和 $\lfloor\frac{n^2}{4}\rfloor$ 邊的圖爲 $K_{\lceil \frac{n}{2}\rceil, \lfloor \frac{n}{2} \rfloor}.$

定義5-1.5 (完全二部圖)

$K_{i,j}$ 表示分割集擁有 $i$ 個頂點, $j$ 條邊的完全二部圖 (complete bipartite).

一個完全 $k$ 部圖, 是指 $V(G)$ 可被劃分爲 $k$ 個穩定集, 稱爲 $v_1,v_2,\cdots$ 和 $v_k$,
使得
$x_ix_j \in E(G), x_i \in V_i, x_j \in V_j, 1\leqslant i<j\leqslant k.$

我們用 $K_{n_1,n_2,\cdots,n_k}$ 表示分割集爲 $V_1,V_2,\cdots,V_k$ 的$k$ 部圖, 其中 $|V_i| = n_i.$

記$K_n$ 爲 完全n部圖 (complete n-partite graph).

定義5-1.6 (平衡完全k部圖)

記 $G = K_{n_1n_2\cdots n_k}$ 爲一個完全 $k$ 部圖. 若
$|n_i - n_j| \leqslant 1, 每一對i,j$
稱其爲一個 平衡完全k部圖 (balanced k-partite graph).

3. Turan 定理

定理5-1.3 (Turan 定理)

設正整數 $r \leqslant n$, $G$ 爲 $n$ 個頂點的圖. 記 $T(r-1,n)$ 爲一個平衡完全(r-1)部圖.

若 $|E(G)|>|E(T_{(r-1,n)})|$, 則 $G$ 有一個子圖 $K_r$.

[例]

1. 設 $G$ 爲一個 $n$ 個頂點的 $l$ 部圖, 求證: $|E(G)| \leqslant |E(T_{(l,n)})|$.

2. 設 $G$ 爲一個 $n$ 個頂點, 不含 $C_4$ 爲子圖的圖. 求證:

   i. $\sum_{x \in V(G)}\binom{d(x)}{2}\leqslant \binom{n}{2}$.

   ii.$|E(G)| \leqslant \frac{n}{4}(1 + \sqrt{4n-3})$.

[證明]

1. 設 $G'$ 爲 $n$ 個頂點的完全 $l$ 部圖. 由定義知: $|E(G)| \leqslant |E(G')|$.

   不妨設 $G' = K_{n_1n_2\cdots n_l}$, $T_{(l,n)}{} = K_{m_1m_2\cdots m_l}$ 由完全 $l$ 部圖定義:
   $|E(G')| = \sum_{j=1}^{l-1}\prod_{i=j}^{l}n_i.$
   因
   $n_1 + n_2 + \cdots + n_l = m_1 + m_2 + \cdots + m_l = n$
   $\sum_{j=1}^{l-1}\prod_{i=j}^{l}n_i. \leqslant \frac{q^2(1-q^{l-1})}{1-q}, q = \frac{n}{l}$
   $m_1,m_2,\cdots ,m_l$ 之間相差越小, 原式結果越大.

   故由平衡完全r部圖定義: $|E(G)| \leqslant |E(T_{(l,n)})|$.

2. 
   i.

   $\binom{d(x)}{2}$ 表示對任意頂點 $x$, 經過 $x$ 所構成的, 連接 $x$ 的任兩個與 $x$ 鄰接的頂點的, 長爲 $2$ 的路的條數, $\sum_{x \in V(G)}\binom{d(x)}{2}$ 對 $G$ 中所有的這樣的長爲 $2$ 的路進行了計數.

   而長爲 $4$ 的圈 $C_4$ 由兩條長爲 $2$ 的路組成. 因此, 對於 $G$ 中的任兩個點, 最多有且僅有一條長爲 $2$ 的路, 否則會出現 $C_4$, 與原假設矛盾.

   在最極端的情況下, $G$ 中任意兩個頂點之間恰好存在一條長爲 $2$ 的路. 此時其長度爲 $\binom n2$, 這是滿足條件的 $G$ 中長爲 $2$ 的路的最大條數.

   故有不等式:
   $\sum_{x \in V(G)}\binom{d(x)}{2}\leqslant \binom{n}{2}$
   成立. $\blacksquare$

   
   

   ii.

   由 i :
   $\sum_{x \in V(G)}\binom{d(x)}{2}\leqslant \binom{n}{2}.$
   即:
   $\sum_{x\in V(G)}d(x) \cdot (d(x)-1) = \sum_{x\in V(G)}d^2(x) - \sum_{x \in V(G)}d(x) \leqslant n(n-1)$
   由 Cauchy-Schwarz 不等式:
   $\sum_{x\in V(G)}d^2(x)\geqslant \frac{1}{n}{\sum_{x\in V(G)}}^2d(x)$
   由握手引理:
   $\sum_{x\in V(G)}d(x) = 2|E(G)|$
   故
   $\frac{1}{n}4|E(G)|^2 - 2|E(G)|\leqslant n^2-n$
   $(|E(G)|-\frac{1}{4}n)^2 \leqslant n^2\cdot \frac{4n-3}{16}$
   $|E(G)| \leqslant \frac{1}{4}n + \frac{n\cdot \sqrt{4n-3}}{4}$
   即
   $|E(G)| \leqslant \frac{n}{4}(1 + \sqrt{4n-3}).$
   $\blacksquare$

4. 圖的染色

設 $G$ 爲一個圖, $k$ 爲正整數.

定義5-1.6 (k-染色)

一個正規的,圖 $G$ 的 $k-染色$ 可表爲映射形式:
$\phi: V(G) \rightarrow [K], st. \phi(u) \neq \phi(v), ~~~if~~ uv \notin E(G).$

若圖 $G$ 可應用 $k$ 染色, 稱其爲 k-可染 (k-colorable) 的.

回憶穩定集的概念: 我們稱 $S\subset V(G)$ 爲 $G$ 的穩定集, 若 $G[S]$ 中不存在邊. 也就是說, 任意兩個 $S$ 中的頂點都不是鄰接的.

實際上, 一個 圖 $G$ 的k-染色將 $V(G)$ 劃分爲 $k$ 個穩定集.

設 $\phi$ 爲 $G$ 的一個k-染色. 對每一個 $i \in [k]$, 通常用 $\phi^{-1}(i)$ 作爲在染色 $\phi$ 下被染成顏色 $i$ 的頂點集的記號. 顯然, $\phi^{-1}(i)$ 是一個穩定集.

顯然, 若對於 $G$, 存在一個k染色, 則對任何 $l \geqslant k$, $G$也可以應用l染色;若對於 $G$, 存在一個k染色, 則對任何 $h \leqslant k$, $G$不可以應用h染色.

定義5-1.7 (色數)

稱滿足 $G$ 可應用k染色 的最小整數 $k$ 爲 $G$ 的色數(Chromatic Number), 記爲 $\chi(G)$.

總的而言, 確定 $G$ 的色數是非常困難的. 對 $k \geqslant 3$, 確定
$\chi(G) = k$ 是否爲真是一個NP-完全問題.

命題5-1.1

設 $G$ 爲圖, $C_1, C_2, \cdots, C_n$ 爲 $G$ 的分支. 則有:
$\chi(G) = max\{\chi(C_1), \chi(C_2), \cdots \chi(C_r)\}.$

命題5-1.2

設 $H$ 爲圖 $G$ 的子圖. 則 $\chi(H)\leqslant \chi(G).$

要求出圖 $G$ 的色數 $\chi(G)$, 我們只需要求出它的下界和上界, 並證明它們相等即可.

定義5-1.8 (團數)

團數(The Clique Number) $\omega(G)$ 等於 $G$ 的最大的團的大小.

定義5-1.9 (獨立數)

獨立數 (The Stable Number) $\alpha(G)$ 等於 $G$ 的最大穩定集的大小.

定理5-1.4

$\chi(G) \geqslant max\{\omega(G), \frac{|V(G)|}{\alpha(G)}\}$.

[證明]

設 $H$ 爲一個有 $\omega(G)$ 個頂點的, $G$ 的完全子圖. 對任意一種染色, $H$ 的每一個頂點都必然被染上不同的顏色. 故 $\chi(G) \geqslant \chi(H) = \omega(G)$.
設 $\phi$ 爲 $G$ 的 $\chi(G)$-染色. 則對於每一個 $i$, $\phi^{-1}(i)$ 爲一個穩定集. 因此 $\phi^{-1}(G) \leqslant \alpha(G)$. 因此, $\chi(G) \geqslant \frac{|V(G)|}{\alpha(G)}$. $\blacksquare$

定理5-1.5

記 $\Delta(G) = max\{d_{G}(v): v \in V(G)\}$.

對於圖 $G$: $\chi(G) \leqslant \Delta(G) + 1$.

[證明]

(貪心算法)

設 $|V(G)| = n$, 隨後, 我們將 $G$ 的頂點隨機排序並且標號, 記爲 $v_1v_2\cdots v_n$.

首先, 用顏色 $c_1$ 染色 $v_1$.

對任何 $i \geqslant 2$, 假設在它之前的所有點都已經染色.

因爲 $d_G(v_i) \leqslant \Delta(G)$, $v_i$ 在 $\{v_1v_2\cdots v_i-1\}$ 中最多有 $\Delta(G)$ 個鄰居, 我們總能找到一個位於 $\{v_1v_2\cdots v_i-1\}$ 中的, $v_i$ 的鄰居所沒有使用的顏色 $h$.
用顏色 $h$ 對 $v_i$ 染色. 重複以上步驟, 直到所有的點都被染色. 故知: $\chi(G) \leqslant \Delta(G) + 1$.

$\blacksquare$

[例]

1. 設 $G$ 爲有 $n$ 個頂點的圖, $G^C$ 爲 $G$ 的補圖. 求證: $\chi(G)\cdot \chi(G^C) \geqslant n$.

[證明]

對圖 $G$ 的階數應用數學歸納法:

記 $i$ 階圖的色數爲 $m_i$, 它關於 $n$ 階完全圖 $G$ 的補圖的色數爲 $n_i$.

$i = 2$ 時, 顯見 $m_i \cdot n_i \geqslant 2$.

設 $i = k-1$ 時, 結論仍然成立.

$i = k$ 時, $k-1$階圖 $G_k$ 必含有一個 $k-1$ 階圖 $G_{k-1}$ 爲子圖. 故有:
$V(G_k) = V(G_{k-1})\cup \{x_k\}, ~~~ E(G_{k-1}) \subseteq E(G_k).$
且
$m_{k} \geqslant m_{k-1}, n_{k}\geqslant n_{k-1}.$
若 $m_{k} = m_{k-1}, n_{k} = n_{k-1} + 1$.

由於 $m_{k-1}, n_{k-1} \geqslant 1$:

$m_{k}\cdot n_{k} \geqslant k-1 + 1 = k$.

故以上結論對任意 $k$ 均成立.

2. 設 $G$ 爲一個圖, $G_1, G_2$ 爲它的兩個誘導子圖, 使得:
   $V(G_1)\cup V(G_2) = V(G), E(G_1)\cup E(G_2) = E(G), |V(G_1) \cap V(G_2)| = 1.$
   求證: $\chi(G) = max\{\chi(G_1), \chi(G_2)\}$.

[證明]

不妨設
$\chi(G_1) > \chi(G_2), V(G_1)\cap V(G_2) = \{x\}$

對於 $G$:
$\chi({G_1\backslash \{x\}}) \geqslant \chi(G_1)-1;$

由於
$\chi({G_2\backslash \{x\} \cup \{x\}}) = \chi(G_2) \leqslant \chi(G_1)$

故一定可以用 $\chi(G_1)$ 種顏色將 $G_1, G_2$ 染色. 即:
$\chi(G) \leqslant max\{\chi(G_1), \chi(G_2)\}.$

由命題 5-1.2知:
$\chi(G) \geqslant max\{\chi(G_1), \chi(G_2)\}.$

故
$\chi(G) = max\{\chi(G_1), \chi(G_2)\}.$

3. 設 $G$ 爲一個色數爲 $k$ 的圖, $\phi$ 爲 $G$ 的一個 $k$-染色. 求證: 對任意 $i = 1,2,\cdots, k$, $\phi^{-1}(i)$ 有一個頂點, 它在 $\phi^{-1}(j)$ 中有鄰居. ($i \neq j$)

[證明]

設對任意 $i = 1,2,\cdots ,k$, $\phi^{-1}(i)$ 的任何一個頂點不全和上了其他顏色的頂點鄰接. 故在$\phi^{-1}(i)$ 的所有點, 總可以在 $k-1$ 種其餘顏色中, 總可以找到一個和 $i$ 不同的顏色, 將其上色. 故 $\chi(G) = k-1$, 和條件矛盾. 因此原結論成立. $\blacksquare$

5. Hall 定理

考慮兩組分別由男孩與女孩所組成的隊伍, 記爲$\{b_1,b_2, \cdots, b_m\}$ 和 $\{g_1,g_2,\cdots, g_n\}$. 我們在數學上假設每一個男孩認識一些女孩 (當然反過來也一樣), 每一個這樣的數學意義上的男孩都可能向他所認識的某一個某一個女孩求婚, 而這些數學意義中的女孩一定會接受她認識的男孩的求婚. 基於以上假設, 我們能否找到一個排列, 使得每一對走進婚姻殿堂 (迫真) 的男女都相互認識?

爲了解決這一問題, 我們需要構建一個二部圖 $G$, 其分割集爲 $\{b_1,b_2,\cdots,b_m\}$ 和 $\{g_1,g_2,\cdots,g_n\}$. 並且 $b_i$ 和 $g_j$ 鄰接, 當且僅當 $b_i, g_j$ 互相認識. 現在我們的問題可以被闡述成如下的形式:

圖 $G$ 是否存在一個邊子集 $M$, 使得每個頂點 $g_j$ 都恰好和 $M$ 中的一條邊鄰接, 且每一個 $b_i$ 最多和 $M$ 中的一條邊鄰接?

可知: 若圖 $G$ 中確實存在滿足條件的邊子集 $M$, 則對$\{g_1,g_2,\cdots,g_n\}$ 的每一個子集, 子集中的女孩所認識的男孩數量不能少於子集中女孩的數量. 即:
$|\bigcup_{g\in T}N_{G}(g)| \geqslant |T|,~~~ T\subseteq \{g_1,g_2,\cdots, g_n\}$

定義5-1.10 (匹配)

設 $M$ 爲圖 $G$ 的邊集 $E(G)$ 的子集. 若 $G$ 中的每一個頂點最多和 $M$ 中的一條邊鄰接, 則稱 $M$ 爲 $G$ 的一個 匹配 (Matching).

也就是說:
$M爲一個匹配 \Leftrightarrow M中不存在兩條與同一個頂點鄰接的邊. (二長路)$

定義5-1.11(交錯路)

設圖 $G$, $M$ 爲它的一個匹配. 若在 $P$ 中屬於 $M$ 的邊和 $E(G)$ 中不屬於 $M$ 的邊交替出現, 則稱 $P$ 爲一個 $M$-交錯路 (M-alternating path).

定義5-1.12 (M-包含)

設 $M$ 爲 $G$ 的一個匹配. 我們稱 $G$ 中的頂點 $v$ 爲 $M$-包含 的(M-covered), 若 $v$ 和 $M$ 中的一些邊鄰接.

定義5-1.13 (M-可擴)

設 $P$ 爲 $G$ 的一條 $M$-交錯路. 若它的起始和終止端點均不是 $M$-包含 (不和 $M$ 中的邊鄰接,也就是說它的起始和終止邊都不屬於 $M$) 的, 稱 $P$ 爲 $M$-可擴路 (M-augmenting path).

[例]

設 $G$ 爲一個圖, $M$ 爲一個匹配, $P$ 爲 $G$ 的一個非平凡 $M$-可擴路. 求證:
$(M\cup E(P))\backslash (M\cap E(P))$
仍然爲一個匹配, 但它比 $M$ 多一條邊.

[證明]

由於 $P$ 爲 $G$ 的一條非平凡 $M$-可擴路, 其路長必爲奇數. 不妨假設 $|E(P)| = 2k + 1$. 其中, 有 $k$ 條路屬於 $M$, $k+1$ 條路屬於 $E(G)\backslash M$.

由 $M$-可擴路的定義知:
$|(M\cup E(P))\backslash (M\cap E(P))| = |M| + k + 1 - k = |M + 1|.$
下證其仍然爲一個匹配:
不妨假設在 $(M\cup E(P))\backslash (M\cap E(P))$ 中存在一對相互鄰接的邊, 顯見它們一定不全屬於 $M$.

若其中有一條屬於 $M$, 另外一條屬於 $E(P)\backslash (M\cup E(P))$ 或兩條邊均屬於 $E(P)\backslash (M\cup E(P))$, 由 $M$-可擴路定義知: 這樣的兩條邊不存在.

故由定義知: 在 $(M\cup E(P))\backslash (M\cap E(P))$ 中找不到一對相互鄰接的邊, 它仍是一個匹配. $\blacksquare$

定義5-1.14 (對稱差)

設 $M_1,M_2$ 爲 $E(G)$ 的子集, 定義 $M_1 \Delta M_2= (M_1\cup M_2)\backslash(M_1 \cap M_2)$, 稱其爲 $M_1, M_2$ 的對稱差

(Symmetric Difference of M_1 and M_2).

[*注]

設 $M$ 爲一個匹配, $P$ 爲一條有正長度的 $M$-可擴路. 則 $M \Delta E(P)$ 爲一個比 $M$ 多含一條邊的匹配.

命題5-1.3

設 $M$ 爲圖 $G$ 的匹配. 若 $G$ 不存在比 $M$ 多一條邊的匹配, 則 $G$ 沒有 $M$-可擴路.

定理5-1.6 (Hall定理)

設 $G$ 爲一個二部圖, 其分割集爲 $X,Y$. 則 $G$ 有一個包含 $X$ 中所有頂點的匹配, 當且僅當 $|\bigcup_{x\in S}N_{G}(x)| \geqslant |S|$, 對每個 $S\subseteq X$.

[證明]

“$\Rightarrow$”

設 $G$ 有一個包含 $X$ 中所有頂點的匹配 $M$, 記爲
$M = \{x_1y_1,x_2y_2,\cdots, x_ry_r\}.$
則
$X = \{x_1,x_2,\cdots ,x_r\}.$
設 $S$ 爲 $X$ 的一個子集. 不失一般性, 假設 $(0\leqslant h\leqslant r)$:
$S = \{x_1,x_2,\cdots,x_h\}.$
此時有:
$\{y_1,y_2,\cdots,y_h\}\subseteq \bigcup_{x\in S}N_{G}(x).$
故
$|\bigcup_{x\in S}N_{G(x)}|\geqslant |\{y_1,y_2,\cdots,y_h\}| = h = |S|.$

“$\Leftarrow$”

設註解[*] 成立. 設 $M$ 爲 $G$ 包含邊數最大的匹配. 下面說明: $M$ 必包含 $X$ 中的所有頂點.

不妨假設 $u$ 爲 $X$ 中沒有被 $M$-包含的頂點. 設 $T$ 爲由所有屬於一條從 $u$ 開始的, $M$-交錯路中的頂點所組成的集合.

因爲 $M$ 是一個最大匹配, 因此 $G$ 不存在 $M$-交錯路. 因此, 每一個 $N_G(u)$ 中的頂點都是 $M$-包含的. 也就是說: $(u \cup N_G(u) ) \subset T$.

因此每一個屬於 $N_{G}(u)$ 的頂點都是 $M$-包含的. $\blacksquare$

定理5-1.7

設 $G$ 爲一個所有頂點的度數均爲非零正整數 $P$ 的二部圖. 設 $X,Y$ 爲 $G$ 的分割. 則 $G$ 有一個包含所有 $X$ 中頂點的匹配.

[證明]

設 $S\subseteq X$ 爲一個頂點集. 設 $T = \bigcup_{x\in S}N_{G}(x)$. 設 $H$ 爲 $G$ 的一個由 $S\cup T$ 誘導的子圖.

因爲 $|E(H)| = P\cdot |S|$, 對每個 $y\in T$, $d_{H}(y)\subseteq P$

要麼 $|T|\geqslant |S|$ 或 $|E(H)| = \sum_{y\in T}d_{G}(y) <P|S|$.

由 Hall定理: 原結論顯然成立. $\blacksquare$

[例]

1. 設 $G$ 爲二部圖. 求證: $G$ 存在一個包含每一個具有最大度數的頂點的匹配.

[證明]

設 $M$ 爲 $G$ 中包含其具有最大度數的頂點數量最多的匹配. 設 $x$ 爲一個不含於 $M$, 但也具有最大度數的頂點. 要證: $x$ 也被 $M$ 包含.

由相關定義: 對於 $M$ 包含的每一個頂點, $M$ 中有且只有一條與其鄰接的邊和它一一對應.

設 $\Delta(M) > 1$. ($\Delta(M) = 1$ 時結論顯然成立) .

若 $M$ 中包含的度數最大頂點均位於同一個劃分集合中, 則顯然 $M$ 將會包含 $G$ 中所有的最大度數頂點, 因爲一定不存在將這些頂點相連的邊.

若 $M$ 中包含的度數最大頂點不全位於同一個劃分集合中. 設不被匹配所包含的一個最大度頂點 $x$ 和 $M$ 中的一個最大度頂點 $x_1$ 相鄰接, 則只需將 $x_1, x$ 劃入 $M$, 挖去點 $x_1, m$, 如此操作即可得到一個包含所有最大度數頂點的匹配.

故知: 所假設的 $M$ 不具有最大性, 矛盾. $\blacksquare$

1. 設 $G$ 爲二部圖, $k = \Delta(G)$. 假設 $k>0$. 求證: $G$ 有一個大小至少爲 $\frac{|E(G)|}{k}$ 的匹配.

[證明]

對 $k$ 運用數學歸納法:

當 $k = 1$ 時, 顯然結論成立.

設 $k = n-1$ 時結論仍然成立.

當 $k = n$ 時:

3. 設 $G$ 爲一個分割集爲 $X,Y$ 的二部圖.
   設 $t = \min_{x\in X}d_{G}(x), s = \max_{y\in Y}d_{G}(y)$. 求證: 若 $t\geqslant s$, 則 $G$ 存在一個包含 $X$ 中全部頂點的匹配.

[證明]

由 $d_{G}(X), d_{G}(Y) \geqslant 1$:

故 $X$ 中的每一個頂點至少和 $Y$ 中的一個頂點連接.

由 $t \geqslant s$: $|X| > |Y|$. 根據鴿籠原理:

因此必存在一個單射 $\psi$, 將 $X$ 中的每一個不同頂點唯一地映到 $Y$ 中的某個頂點.

Hall定理, 是一個關於二部圖中最大匹配存在性的定理. 存在一個多項式時間算法, 可以找到給定圖的最大匹配. (給定的圖不一定要是二部圖!)

定義5-1.15 (相異代表系)

設 $X = \{S_1,S_2,\cdots ,S_m\}$ 爲一組集合. 一個集合 $X$ 的 相異代表系 (System Of Distinct Representatives) 爲一組 $m$ 個不同的元素, 記爲 $a_1,a_2,\cdots, a_m$, 使得對於每一個 $i \in [m], a_i\in S_i$.

我們構建二部圖 $G$: 它的分割集爲 $X = \{S_1,S_2,\cdots, S_m\}, Y = \bigcup_{i\in [m]} S_{i}$.

則 $X$ 的一個相異代表系唯一地對應於包含 $X$ 的所有頂點的一個匹配.

根據 Hall 定理, 設 $S_1, S_2, \cdots, S_m$ 爲一個有限非空集合的組合. 則這個組合有一個相異代表系, 當且僅當對任意的 $t\in [m]$, 任何 $t$ 個集合的並都包含至少 $t$ 個元素.

[例]

設 整數$n \geqslant 2$. 對每一個 $i \in [n]$, $S_{i} = [n]\backslash \{i\}$. 求證: $\{S_i;i\in [n]\}$ 存在一個相異代表系.

[證明]

考慮一組 $N$ 個男孩, 記爲 $\{b_1,b_2,\cdots,b_N\}$, 和一組 $N$ 個女孩, 記爲 $\{g_1,g_2,\cdots, g_N\}$. 每一個男孩和女孩都有自己的擇偶順位. 問題是, 我們能否找到一個匹配: $\{(b_{i_{1}},g_{i_{1}, })\cdots, (b_{i_{N}}, g_{i_N})\}$, 使得對每一個配對 $1\leqslant i,j\leqslant N$, 若 $(b_i,g_j) \notin M$, 則要麼 $b_i$ 有比 $g_i$ 更喜歡的人, 要麼若 $(b_i,g_j) \notin M$, 則要麼 $g_i$ 有比 $b_i$ 更喜歡的人.

若這樣的一個匹配 $M$ 的確存在, 我們稱其爲 穩定匹配 (Stable Matching). 否則, 稱其爲 不穩定的 (Unstable).

在不穩定的情況下, $b_i$ 更喜歡 $g_j$ 而非他現在的伴侶 $g'$, 且 $g_j$ 相比她現在的伴侶 $b'$ 也更喜歡 $b_i$. 在這一情況下, $(b_i,g')$ 和 $(b',g_j)$ 會互換伴侶, 形成穩定配對.

在 1962 年, Gale 和 Shapley 提出了一個用於尋找這樣的穩定匹配的算法. 2012年, Shapley 因爲他在博弈論-穩定分配領域的研究而獲得諾貝爾經濟學獎.

下面, 我們介紹 Gale-Shapley算法:

首先, 我們假定兩個分組中的每個人都沒有配對.

Step 1

每一個男孩都向他自己的擇偶順位中位次最高 (最喜歡) 的女孩尋求配對.

Step 2

每一個接收到至少一個請求的女孩都按照她自己的擇偶順位選擇請求名單中的男孩, 並且拒絕其餘的請求. 沒有收到請求的女孩什麼也不用做.

Step 3

如果沒有男孩被拒絕, 此時終止程序, 因爲所形成的配對已經是一個穩定配對. 如果仍然存在被拒絕的男孩, 則他們將拒絕他的女孩從自己的擇偶順位中移除, 並且在剩餘的女孩中按照同樣的原則做出選擇.

Step 4

返回步驟2.