A組
4.曲線r=cos2θ在θ=4π處的切線方程爲______。
解 曲線參數方程{x=cos2θcosθ,y=cos2θsinθ,θ=4π對應(x0,y0)=(0,0),
dxdy∣∣∣∣θ=4π=−2sin2θcosθ−cos2θsinθ−2sin2θsinθ+cos2θcosθ∣∣∣∣θ=4π=1,
切線方程爲y=x。(這道題主要利用了參數方程求解)
B組
6.設f(x)=∣x(3−x)∣,則( )
(A)x=0是f(x)的極值點,但(0,0)不是曲線y=f(x)的拐點;
(B)x=0不是f(x)的極值點,但(0,0)是曲線y=f(x)的拐點;
(C)x=0是f(x)的極值點,且(0,0)是曲線y=f(x)的拐點;
(D)x=0不是f(x)的極值點,且(0,0)也不是曲線y=f(x)的拐點。
解 由於f(x)=∣x(3−x)∣⩾0,f(0)=0,可知x=0爲f(x)的極小值點。由f(x)={3x−x2,−3x+x2,0<x<3,x⩽0或x⩾3,可得
f′(x)={3−2x,−3+2x,0<x<3,x<0或x>3.f′′(x)={−2,2,0<x<3,x<0或x>3.
由於在x=0兩側f′′(x)異號,因此(0,f(0))=(0,0)爲曲線y=f(x)的拐點。故選(C)。(這道題主要利用了拐點和極值點定義求解)
14.設函數f(x)可導,且滿足xf′(x)=f′(−x)+1,f(0)=0,求:
(1)f′(x);
解 在方程xf′(x)=f′(−x)+1中用−x代替x,得−xf′(−x)=f′(x)+1,從而有
{xf′(x)=f′(−x)+1,−xf′(−x)=f′(x)+1.
解得f′(x)=1+x2x−1。
(2)函數f(x)的極值。
解 由f(0)=0,得f(x)−f(0)=∫0x1+t2t−1dt,即f(x)=21ln(1+x2)−arctanx。
由f′(x)=1+x2x−1,得函數f(x)的駐點x0=1,且唯一。而f′′(x)=(1+x2)2−x2+2x+1,所以f′′(1)>0。故f(1)=21ln2−4π是函數f(x)的極小值。(這道題主要利用了構造方程求解)
C組
10.設f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧n→∞limn1(1+cosnx+cosn2x+⋯+cosnn−1x),1,f(−x),x<0.x>0,x=0,
(1)求f′(0);
解 當x>0時,
f(x)=n→∞limn1i=0∑n−1cosnix=n→∞limx1i=0∑n−1cosnix⋅nx=x1∫01costdt=x1sint∣∣∣∣0x=xsinx;
當x<0時,f(−x)=−xsin(−x)=xsinx。
綜上所述,f(x)=⎩⎨⎧xsinx,1,x=0,x=0.
故
f′(0)=x→0limx−0f(x)−f(0)=x→0limxxsinx−1=x→0limx2sinx−x=0.
(2)求f(x)在[−π,π]上的最大值。
解 由f(x)是[−π,π]上的偶函數,故只研究[0,π]上的情形即可。
當0<x⩽π時,f′(x)=x2xcosx−sinx,令g(x)=xcosx−sinx,則g′(x)=−xsinx⩽0,且僅當x=π時,g′(x)=0,故g(x)在(0,π]嚴格單調遞減,g(x)<g(0)=0,於是f′(x)<0,f(x)單調遞減,則f(x)的最大值在x=0處取得,fmax=f(0)=1。(這道題主要利用了積分定義求解)
寫在最後
如果覺得文章不錯就點個贊吧。另外,如果有不同的觀點,歡迎留言或私信。
歡迎非商業轉載,轉載請註明出處。