A组
15.求极限x→0lim(2+x2)ln(1+x)sinx+x2sinx1。
解
x→0lim(2+x2)ln(1+x)sinx+x2sinx1=x→0lim2+x21⋅xsinx+x2sinx1=21x→0lim(xsinx+xsinx1)=21.
(这道题主要利用了洛必达法则适用条件求解)
B组
3.当x→0+时,下列无穷小量中,与x同阶的无穷小是( )
(A)1+x−1;
(B)ln(1+x)−x;
(C)cos(sinx)−1;
(D)xx−1.
解 选项(A),1+x−1∼21x,是关于x的一阶无穷小。
选项(B),ln(1+x)−x=[x−21x2+ο(x2)]−x∼−21x2,是关于x的二阶无穷小。
选项(C),cos(sinx)−1∼−21sin2x∼−21x2,是关于x的二阶无穷小。
选项(D),xx−1=exlnx−1∼xlnx,不是关于x的一阶无穷小。(这道题主要利用了无穷小求解)
15.计算下列极限。
(5)x→∞lime−x(1+x1)x2;
解
x→∞lime−x(1+x1)x2=x→∞limex2ln(1+x1)−x=ex→∞lim(x1)2ln(1+x1)−x1x=t1et→0limt2ln(1+t)−t=et→0lim2t1+t1−1=e−21.
(这道题主要利用了变量代换求解)
(19)x→0+limx(1+3sin2x−1)xx−(tanx)x.
解 因为x→0+limxx=x→0+limexlnx=1,x→0+limexlntanx=1。对分母作等价无穷小代换:1+3sin2x−1∼21⋅3sin2x∼23x2(x→0+),得
原式=32x→0+limx3xx−(tanx)x=32x→0+limx3xx[1−(xtanx)x]=−32x→0+limx3(xtanx)x−1=−32x→0+limx3exln(xtanx)−1.
对分子作等价无穷小代换:当x→0+时,有
exln(xtanx)−1∼xln(xtanx)=xln[1+(xtanx−1)]∼x(xtanx−1)=tanx−x,原式=−32x→0+limx3tanx−x=−32x→0+lim3x2sec2x−1=−94x→0+lim(xtanx)2=−92.
(这道题主要利用了等价无穷小代换求解)
C组
3.记f(x)=27x3+5x2−2的反函数为f−1,求极限:x→∞lim3xf−1(27x)−f−1(x)。
解 首先,显然有x→∞limx3f(x)=x→∞lim(27+x5−x32)=27。
先令t=27x,再令y=f−1(x),则t=f(y),且x→∞时,t→∞,y→∞,所以
x→∞lim3xf−1(27x)=3t→∞lim3tf−1(t)=3y→∞lim3f(y)y=33y→∞limf(y)y3=33271=1.
同理,令y=f−1(x),则x=f(y),且x→∞时,y→∞,所以
x→∞lim3xf−1(x)=y→∞lim3f(y)y=3y→∞limf(y)y3=3271=31.
因此,原式=1−31=32。(这道题主要利用了变量代换求解)
4.计算下列极限。
(2)x→0lim∫0x4+t2∫0x(t+1−1)dtsin2t;
解
x→0lim∫0x4+t2∫0x(t+1−1)dtsin2t=x→0lim4+x2(x+1−1)sin2x=x→0limx4+x2(x+1+1)sin2x=x→0lim4+x22(x+1+1)⋅2xsin2x=2.
(这道题主要利用了积分式求导求解)
(3)x→+∞lim(3x3+2x2+1−xex1);
解 令x=t1,有
x→+∞lim(3x3+2x2+1−xex1)=t→0+limt3t3+2t+1−et=t→0+lim131(t3+2t+1)−32(2+3t2)−et=31×1×2−1=−31.
(这道题主要利用了变量代换求解)
(4)x→0lim(cosx−e2x2)sin2s21+21x2−1+x2;
解
x→0lim(cosx−e2x2)sin2s21+21x2−1+x2=x→0lim{[1−21x2+ο(x2)]−[1+21x2+ο(x2)]}⋅2x21+21x2−[1+21x2−81x4+ο(x4)]=x→0lim−21x2+ο(x4)81x4+ο(x4)=−41.
(这道题主要利用了泰勒展开式求解)
7.设a⩾5且为常数,则k为何值时极限I=x→+∞lim[(xα+8x4+2)k−x]存在,并求此极限值。
解 当k⩽0时,I=−∞,极限不存在;
当k>0时,
I∞−∞x=t1t→0+lim[(tα1+t48+2)k−t1](α⩾5)=t→0+limtαk(1+8tα−4+2tα)k−tαk−1.
只有当αk−1=0,即k=α1时极限才可以用洛必达法则,否则极限为∞,不存在。故
I=t→0+limt(1+8tα−4+2tα)α1−1=t→0+limtα1(8tα−4+2tα).
当α=5时,I=t→0+lim51t8t+2t5=58,此时k=51;
当α>5时,I=0,此时k=51。(这道题主要利用了分类讨论求解)
11.设f(x)=n→∞limn1+(2x)n+x2n(x⩾0)。
(1)求函数f(x)的表达式;
解 当0⩽x<21时,有n1⩽n1+(2x)n+x2n⩽1⋅n3;
当21⩽x<2时,有2x<n1+(2x)n+x2n⩽2xn3;
当x⩾2时,有x2⩽n1+(2x)n+x2n⩽x2n3。
又n→∞limn3=1,故
f(x)=⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧1,2x,x2,0⩽x<21,21⩽x<2,x⩾2.
(2)讨论函数f(x)的连续性。
解 因为f(x)在[0,21),[21,2),[2,+∞)上连续,又
x→(21)−limf(x)=1,x→(21)+limf(x)=1,f(21)=1,x→2−limf(x)=4,x→2+limf(x)=4,f(2)=4,
所以f(x)在[0,+∞)上连续。(这道题主要利用了分类讨论求解)
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