數論 | 整數

歸納公理

大前提：

$1°\ \ S \subseteq N$

小前提：

$1°\ \ 1\in S$

$2°\ \ n\in S \rightarrow n+1\in S$

結論：

$S = N$

定理1 數學歸納法

歸納公理推出

大前提：

$1°\ \ n\in N$

$2°\ \ P(n)是關於n的命題$

小前提：

$1°\ \ n = 1\rightarrow P(1)$成立

$2°\ \ P(n)$成立$\rightarrow P(n+1)$成立

結論：

$P(n)$對所有n成立

證明：

設使$P(n)$成立的所有自然數$n$組成的集合是$S(S\subseteq N)$.

$1°\ \ 1\in S$

$2°\ \ n\in S\rightarrow n+1\in S$

歸納公理得：$S = N$

定理2 最小自然數原理

數學歸納法推出

$1°\ \ T\neq \varnothing$

$2°\ \ T\subseteq N$

$t_0\in T\rightarrow \forall t\in T,t_0\leq t$

證明：

令$S = \{s|s\in N,s\leq t (\forall t\in T)\}$

$1°\ \ S\neq\varnothing(1\in S)$

$2°\ \ \forall t_1\in S\rightarrow t_1 + 1 \notin S$

$\exists s_0\in S \rightarrow s_0+1\notin S$

否則：

$1\in S\ \ $

$s_0\in S \rightarrow s_0+1\in S$

數學歸納法得：$S=N$

由$2°$可知$S\neq N$

故矛盾.

因此：

$3°\ \ \exists s_0\in S \rightarrow s_0+1\notin S$

此時證明：$t_0 = s_0$，即證：$s_0\in T$

反證：若$s_0\notin T$，即$\forall t\in T,s_0<t\rightarrow s_0+1\leq t \rightarrow s_0+1\in S$

故與$3°$矛盾.

最終證畢.

定理3 最大自然數原理

最小自然數原理推出

$1°\ \ M\neq\varnothing$

$2°\ \ M\subseteq N$

$3°\ \ \exists a\in N,\forall m\in M,m\leq a$

$m_0\in M\rightarrow \forall m\in M,m\leq m_0$

證明：

令$T=\{t|t\in N,\forall m\in M,t\geq m\}$

$1°\ \ T\neq\varnothing(a\in T)$

由定理2 最小自然數原理可知：

$2°\ \ \exists t_0\in T,\forall t\in T,t_0 \leq t$

此時證明：$t_0 = m_0$，即證：$t_0\in M$

反證：若$t_0\notin M$，即$\forall m\in M,m<t_0\rightarrow m\leq t_0-1\rightarrow t_0-1\in T$

故與$t_0$是最小自然數矛盾.

最終證畢.

定理4 第二種數學歸納法

最小自然數原理推出

大前提：

$1°\ \ n\in N$

$2°\ \ P(n)是關於n的命題$

小前提：

$1°\ \ n=1\rightarrow P(1)$成立

$2°\ \ n>1,m\in N,n\in N,m<n,P(m)$成立$\rightarrow P(n)$成立

結論：

$P(n)$對所有n成立

證明：

反證法：若定理不成立. 令$T=\{t|t\in N,P(t)不成立\}$

由$T\neq\varnothing$ $T\subseteq N$可使用最小自然數原理：

$1°\ \ \exists t_0\in T,\forall t\in T,t_0\leq t$

由小前提$1°$：

$2°\ \ t_0>1(1\notin T)$

$3°\ \ m = 1,2,...,t_0-1有P(m)成立$

由小前提$2°$：

$3°\rightarrow P(t_0)也成立\rightarrow t_0\notin T$

與$t_0\in T$矛盾.

最終證畢.

定理4 盒子原理（鴿籠原理）

設n是一個自然數. 現有n個盒子和n+1個物體. 無論怎樣把這n+1個物體放入這n個盒子，一定有一個盒子中被放入兩個或兩個以上的物體.

證明：

反證法：假設結論不成立，即每個盒子至多有一個物體，那麼，這n個盒子總共有的物體個數$\leq n$，這和有n+1個物體放到了n個盒子中相矛盾.

最終證畢.