[自動控制原理][02][zhangfan_space]——線性系統的理解

線性系統標準定義

線性系統（Linear System）：一個鬆弛系統稱爲線性的，當且僅當對於任何的輸入$u_1$和$u_2$，以及任何的實數$\alpha$，均有
$H(u_1+u_2)=Hu_1+Hu_2$$H(\alpha u_1)=\alpha Hu_1$否則稱爲是非線性的。

線性系統的直觀形式

簡言之，一個線性系統需要滿足兩條：可加性、齊次性，那麼對於描述系統的數學模型來說，比如微分方程中，每一項只是這樣的形式
$a_n\frac{d^ny(t)}{dt^n}\quad\forall n\in\mathbb N$
就稱之爲線性系統，滿足可加性和齊次性。

非線性系統舉例

那麼什麼樣子是非線性系統呢？例如：帶三角函數的$sin$、$cos$、$tan$或者$\frac{d^nx(t)}{dt^n}\cdot\frac{d^mx(t)}{dt^m}$，諸如此類不符合可加性和齊次性的均爲非線性系統，統一使用$f(x)$表示。

爲什麼叫線性，而不叫面性或者立體性

在《矩陣論》中，第一章必然講到線性空間、線性相關和線性變換，那麼這裏的線性又爲什麼叫這個名字？與自動控制原理、現代控制理論中的線性是不是一個線性呢？答案是肯定的。

1. 我們回到最簡單的形式，將[自動控制原理][01][zhangfan_space]——因果系統的理解中的連續系統的微分方程，考慮最簡單的情況：
   $a_0y(t)=b_0u(t)$
   直觀來看，是不是特別熟悉？與小學學習的一元一次方程特別像？沒錯，這玩意兒就是小學學過的一元一次方程$y=kx$
   這就尷尬了！！！
   它爲啥叫線性呢，因爲它在二維座標中畫出來是一條直線，它就是個直線，它不叫線性叫啥？
2. 好的，再考慮稍微複雜一點的情況$a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_0y(t)=b_0u(t)$
   如果我們將$\frac{dy(t)}{dt}$當作新的變量，令其等於$x(t)$，則左邊就等於$a_1x(t)+a_0y(t)$
   OMG，這東西看着也很熟悉，這是二元一次方程
   $y=k_1x_1+k_2x_2$
   它還是三維空間的一條直線。

OK，放棄掙扎，我們所描述的系統的數學形式就是$n$維空間的一條直線，所以它具備直線的性質，那麼問題又來了，直線的性質是什麼？

直線的性質——線性

直線的性質即爲一開始講的可加性和齊次性，那麼直觀來看是什麼樣呢？直觀從$n$維空間去看，不嚴謹的講，一條直線上的任意兩點的連線都與原來的直線平行。

線性映射、線性仿射

1. 線性映射形如$y=ax$
2. 仿射形如$y=ax+b$，是在映射的基礎上加了一個平移量

（注：不夠嚴謹的地方望指正，謝謝?）