[自動控制原理][04][zhangfan_space]——拉普拉斯變換的理解

拉普拉斯變換（Laplace transform）屬於線性變換，是在控制領域繞不過去的積分變換。同時拉普拉斯變換與傅里葉變換也存在着繞不過去的關係。

傅里葉變換、傅里葉級數

傅里葉級數針對週期函數，傅里葉變換是針對非週期函數，可以將原函數展開爲三角函數之和，可以參考傅里葉級數及傅里葉變換，這裏對這種的異同不展開討論，重點對於傅里葉變換與拉普拉斯變換的異同進行討論。
傅里葉變換屬於拉普拉斯變換中的一種情況，是將滿足條件的信號展開成如下的形式：
$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-iwt}\, dt$傅里葉逆變換的形式爲：
$f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{iwt}\, dw$
考慮在[自動控制原理][03][zhangfan_space]——歐拉公式的理解中對歐拉公式的解釋，傅里葉變換公式可以寫爲：
$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)(\cos wt-i\sin wt)\, dt$這就是傅里葉變換最開始想要從頻域對非週期信號進行信號分解的形式。

其中，要進行傅里葉變換，$f(x)$的充分不必要條件是滿足狄利克雷條件（Dirichlet Conditions）：

1. 在一週期內，函數連續或只有有限個第一類間斷點；
2. 在一週期內，極大值和極小值的數目應是有限個；
3. 在一週期內，信號是絕對可積的，即$\int_{-\infty}^{\infty} \vert f(t)\vert\, dt<\infty$。

其中，第3個條件是最難保證的，那麼爲了利用傅里葉變換，拉普拉斯變換應運而生。

拉普拉斯變換

爲了使傅里葉變換能夠使用，在傅里葉變換中加入了一個調節因子（Adjustment factor）$e^{-\sigma t}$，這個因子的妙處在於它可以在$t\rightarrow+\infty$的時候，使得函數$e^{-\sigma t}f(t)$迅速地衰減，從而達到絕對可積的目的。

（$e^{-\sigma t}$豬隊友啊哈哈哈哈，活生生把人家拉下來）

那麼，傅里葉變換變形之後，在$t$的正半軸，就可以進行傅里葉變換了，如下所示：
$F(\omega)=\int_{0}^{+\infty} f(t)e^{-\sigma t}e^{-iwt}\, dt=\int_{0}^{+\infty} f(t)e^{-(\sigma+iw)t}\, dt$

定義：$s=\sigma+iw$
就可以得到：$F(s)=\int_{0}^{+\infty} f(t)e^{-st}\, dt$
這就是拉普拉斯變換。

傅里葉變換和拉普拉斯變換的異同

傅里葉變換：將函數分解到頻率不同、幅值爲1的圓上；
拉普拉斯變換：將函數分解到頻率、幅值均不同的圓上。

爲什麼是圓上，參考傅里葉級數及傅里葉變換中對歐拉公式的分析解釋。

拉普拉斯變換的優點

將微分、積分等複雜形式變爲簡單的乘、除法，不知道這個靈感先出現的還是數學先推導出來的。

拉普拉斯變換的常見形式（時間域-s域）

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時間域	S域
$\delta(t)$	$1$
$\delta_T(t)=\sum_{n=0}^{\infty} \delta(t-nT)$	$\frac{1}{1-e^{-Ts}}$
$1(t)$	$\frac{1}{s}$
$t$	$\frac{1}{s^2}$
$\frac{t^2}{2}$	$\frac{1}{s^3}$
$e^{-at}$	$\frac{1}{s+a}$
$te^{-at}$	$\frac{1}{{s+a}^2}$
$e^{-at}-e^{-bt}$	$\frac{1}{s+a}-\frac{1}{s+b}$
$\sin wt$	$\frac{w}{w^2+s^2}$
$\cos wt$	$\frac{s}{w^2+s^2}$

（注：不夠嚴謹的地方望指正，謝謝?）