[自動控制原理][01][zhangfan_space]——因果系統的理解

因果系統的定義

因果系統（Causal System）指具有因果性的系統。若系統在某時刻 $t$ 的輸出僅取決於時刻 $t$ 及在 $t$ 之前的輸入，而與 $t$ 之後的輸入無關，則稱系統具有因果性¹。

簡言之，現在的行爲只和 過去和現在 有關，與未來無關。

離散因果系統的兩種形式

對於單輸入單輸出（ SISO ）的線性定常離散系統：

1. 離散系統的差分方程 ；
   $a_ny(k+n)+a_{n-1}y(k+n-1)+\cdots+a_1y(k+1)+a_0y(k)$$=b_mu(k+m)+b_{m-1}u(k+m-1)+\cdots+b_1u(k+1)+b_0u(k)$
2. 離散系統的脈衝傳遞函數形式；
   $G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{b_mz^m+b_{m-1}z^{m-1}+\cdots+b_1z+b_0}{a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0}$

連續因果系統的兩種形式

對於單輸入單輸出（ SISO ）的線性定常連續系統：

1. 連續系統的微分方程 ；
   $a_n\frac{d^ny(t)}{dt^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y(t)}{dt^{n-1}}+\cdots+a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_0y(t)$$=b_m\frac{d^mu(t)}{dt^m}+b_{m-1}\frac{d^{m-1}u(t)}{dt^{m-1}}+\cdots+b_1\frac{du(t)}{dt}+b_0u(t)$
2. 連續系統的脈衝傳遞函數形式；
   $G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots+b_{1}s+b_0}{a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_{1}s+a_0}$

總結

對於因果系統，必須存在 $n≥m$。因爲一個微分就是下一個時間點的信息，所以 $u$ 的微分量的最高次項不能大於 $y$ 的，否則，下一時刻的輸入就會影響本時刻的輸出。

用文藝的說法來解釋就是：這近五十年的時間，這世間幾多變化，但所有的未來都藏在過去（和現在）。——來自公衆號“貞觀”，侵刪

（注：不夠嚴謹的地方望指正，謝謝?）

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1. 周鳳岐，周軍，郭建國. 現代控制理論基礎. 西安：西北工業大學出版社，2011. ↩︎