隨機排列算法及《算法導論》5.3節習題解答
《算法導論》介紹了兩種隨機排列數組的算法。
第一種算法是爲數組的每個元素A[i]賦一個隨機的優先級P[i]，然後依據優先級對數組A中的元素進行排序。例如，如果初始數組A=(1，2，3，4)，隨機選擇的優先級P=(36，3，62，19)，則將產生一個數組B=(2，4，1，3)，因爲第2個優先級最小，接下來是第4個，然後第1個，最後第3個。我們稱這個過程爲PERMUTE-BY-SORTING:
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PERMUTE-BY-SORTING(A)
n = A.length
let P[1..n]
be a new array
for i
= 1 to n
P[i] = RANDOM(1,n^3)
sort A, using P as sort keys
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第5行選取一個在1~n3之間的隨機數。我們使用範圍1~n3是爲了讓P中所有優先級儘可能唯一。我們假設所有的優先級都唯一。
第二種算法是原址排列給定數組。過程RANDOMIZE-IN-PLACE在O(n)時間內完成。在進行第i次迭代時，元素A[i]是從元素A[i]到A[n]中隨機選取的。第i次迭代以後，A[i]不再改變。
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RANDOMIZE-IN-PLACE(A)
n = A.length
for i
= 1 to n
swap A[i] with A[RANDOM(i,n)]
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以上兩種算法都能計算出數組A的一個均勻隨機排列，明顯第二種算法更加漂亮。
練習5.3有幾個RANDOMIZE-IN-PLACE算法的變形，但他們計算出的排列都不是A的均勻隨機排列，下面一起來看一下。
5.3-2 Kelp教授決定寫一個過程來隨機產生除恆等排列(identity permutation)外的任意排列。他提出瞭如下過程：
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PERMUTE-WITHOUT-IDENTITY(A)
n = A.length
for i
= 1 to n-1
swap A[i] with A[RANDOM(i+1,n)]
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這段代碼實現了Kelp教授的意圖嗎？
沒有。雖然這個過程不能產生恆等排列，但也不能產生除恆等排列完的任意排列。
除恆等排列外的任意排列共有n!-1個，但是此過程只能產生(n-1)(n-2)…1=(n-1)!個，還有(n!-1)-(n-1)!個排列不能產生。舉個例子：A=(a1,a2,…,an)，a1必須和a2,a3,…,an中的某一個交換，假設和aj交換，則a1永遠不可能回到第一個位置了，因爲當循環到位置j時，aj（原來的a1）也只能被交換到a(j+1),…,an中。而除恆等排列外的任意排列明顯包含a1在第一個位置上的排列。
所以過程PERMUTE-WITHOUT-IDENTITY不能產生除恆等排列外的任意排列。
5.3-3 假設我們不是將元素A[i]與子數組A[i..n]中的一個隨機元素交換，而是將它與數組任何位置上的隨機元素交換：
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PERMUTE-WITH-ALL(A)
n = A.length
for i
= 1 to n
swap A[i] with A[RANDOM(1,n)]
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這段代碼會產生一個均勻隨機排列嗎？爲什麼會或爲什麼不會？
這段代碼不會產生一個均勻隨機的排列，使用反證法如下。
假設這段代碼會產生一個均勻隨機的排列，且假設n=3，則三個元素的均勻隨機排列共有3!=6個，且每個排列出現的概率爲1/6。但是過程PERMUTE-WITH-ALL一共產生n3=27（n=3,3次for循環，每次RANDOM(1,3)有3可能）個排列，假設共有m個互異的排列，且排列是均勻隨機的，則每個互異的排列的概率爲m/27，且滿足m/27=1/6。但是m沒有整數解，所以原假設不成立，即過程PERMUTE-WITH-ALL不能產生一個均勻隨機的排列。
實際上當n=3時，產生的排列及概率如下：
(1,2,3)−−−−4/27(1,3,2)−−−−5/27(2,1,3)−−−−5/27(2,3,1)−−−−5/27(3,1,2)−−−−4/27(3,2,1)−−−−4/27雖然他們產生了所有的排列，且概率總和爲1，但是他們不是隨機均勻的，因爲每一種排列的概率不相等。
5.3-4 Armstrong教授建議用下面的過程來產生一個均勻隨機排列：
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PERMUTE-BY-CYCLIC(A)
n = A.length
let B[1..n]
be a new array
offset =
RANDOM(1,n)
for i
= 1 to n
dest = i + offset
if dest
> n
dest = dest - n
B[dest] = A[i]
return B
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請說明每個元素A[i]出現在B中任何特定位置的概率是1/n。然後通過說明排列結果不是均勻隨機排列，表明Armstrong教授錯了。
A[i]出現在B中的位置是由offset決定的，而且只要offset決定了，則整個B就決定了；又因爲offset=RANDOM(1,n)，所以特定的offset出現的概率相等，都爲1/n，所以每個元素A[i]出現在B中任何特定位置的概率是1/n。
因爲offset只有n種可能，所以B也只有n種可能，但是A的所有均勻隨機排列共有n!種情況，所以還有n!-n種情況沒有出現，即排列結果不是均勻隨機的。
*5.3-5 證明：在過程PERMUTE-BY-SORTING的數組P中，所有元素都唯一的概率至少是1-1/n。
假設RANDOM(1,n3)產生的n個數爲a1,a2,…,an，事件Xi表示a1~ai互不相等，則Xn表示a1~an互不相等，Xn是在X(n-1)的基礎上保證an和a1~a(n-1)互不相等，即Xn={an不等於a1,a2,…,a(n-1)之一}∩X(n-1)，於是P(Xn)=P{{an不等於a1,a2,…,a(n-1)之一}∩X(n-1)}，根據條件概率公式得：
5.3-6 請解釋如何實現算法PERMUTE-BY-SORTING，以處理兩個或更多優先級相同的情形。也就是說，即使有兩個或更多優先級相同，你的算法也應該產生一個均勻隨機排列
對幾個優先級相同的項，再進行一輪隨機優先級排序；如果再有相同，再進行一次…思路就是要確保這幾個優先級相同的項得到隨機的排列。
轉自http://beeder.github.io/2014/12/19/random-permutation-algorithms-and-some-solutions-to-clrs-ch5-3/