随机排列算法及《算法导论》5.3节习题解答
《算法导论》介绍了两种随机排列数组的算法。
第一种算法是为数组的每个元素A[i]赋一个随机的优先级P[i]，然后依据优先级对数组A中的元素进行排序。例如，如果初始数组A=(1，2，3，4)，随机选择的优先级P=(36，3，62，19)，则将产生一个数组B=(2，4，1，3)，因为第2个优先级最小，接下来是第4个，然后第1个，最后第3个。我们称这个过程为PERMUTE-BY-SORTING:
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PERMUTE-BY-SORTING(A)
n = A.length
let P[1..n]
be a new array
for i
= 1 to n
P[i] = RANDOM(1,n^3)
sort A, using P as sort keys
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第5行选取一个在1~n3之间的随机数。我们使用范围1~n3是为了让P中所有优先级尽可能唯一。我们假设所有的优先级都唯一。
第二种算法是原址排列给定数组。过程RANDOMIZE-IN-PLACE在O(n)时间内完成。在进行第i次迭代时，元素A[i]是从元素A[i]到A[n]中随机选取的。第i次迭代以后，A[i]不再改变。
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RANDOMIZE-IN-PLACE(A)
n = A.length
for i
= 1 to n
swap A[i] with A[RANDOM(i,n)]
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以上两种算法都能计算出数组A的一个均匀随机排列，明显第二种算法更加漂亮。
练习5.3有几个RANDOMIZE-IN-PLACE算法的变形，但他们计算出的排列都不是A的均匀随机排列，下面一起来看一下。
5.3-2 Kelp教授决定写一个过程来随机产生除恒等排列(identity permutation)外的任意排列。他提出了如下过程：
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PERMUTE-WITHOUT-IDENTITY(A)
n = A.length
for i
= 1 to n-1
swap A[i] with A[RANDOM(i+1,n)]
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这段代码实现了Kelp教授的意图吗？
没有。虽然这个过程不能产生恒等排列，但也不能产生除恒等排列完的任意排列。
除恒等排列外的任意排列共有n!-1个，但是此过程只能产生(n-1)(n-2)…1=(n-1)!个，还有(n!-1)-(n-1)!个排列不能产生。举个例子：A=(a1,a2,…,an)，a1必须和a2,a3,…,an中的某一个交换，假设和aj交换，则a1永远不可能回到第一个位置了，因为当循环到位置j时，aj（原来的a1）也只能被交换到a(j+1),…,an中。而除恒等排列外的任意排列明显包含a1在第一个位置上的排列。
所以过程PERMUTE-WITHOUT-IDENTITY不能产生除恒等排列外的任意排列。
5.3-3 假设我们不是将元素A[i]与子数组A[i..n]中的一个随机元素交换，而是将它与数组任何位置上的随机元素交换：
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PERMUTE-WITH-ALL(A)
n = A.length
for i
= 1 to n
swap A[i] with A[RANDOM(1,n)]
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这段代码会产生一个均匀随机排列吗？为什么会或为什么不会？
这段代码不会产生一个均匀随机的排列，使用反证法如下。
假设这段代码会产生一个均匀随机的排列，且假设n=3，则三个元素的均匀随机排列共有3!=6个，且每个排列出现的概率为1/6。但是过程PERMUTE-WITH-ALL一共产生n3=27（n=3,3次for循环，每次RANDOM(1,3)有3可能）个排列，假设共有m个互异的排列，且排列是均匀随机的，则每个互异的排列的概率为m/27，且满足m/27=1/6。但是m没有整数解，所以原假设不成立，即过程PERMUTE-WITH-ALL不能产生一个均匀随机的排列。
实际上当n=3时，产生的排列及概率如下：
(1,2,3)−−−−4/27(1,3,2)−−−−5/27(2,1,3)−−−−5/27(2,3,1)−−−−5/27(3,1,2)−−−−4/27(3,2,1)−−−−4/27虽然他们产生了所有的排列，且概率总和为1，但是他们不是随机均匀的，因为每一种排列的概率不相等。
5.3-4 Armstrong教授建议用下面的过程来产生一个均匀随机排列：
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PERMUTE-BY-CYCLIC(A)
n = A.length
let B[1..n]
be a new array
offset =
RANDOM(1,n)
for i
= 1 to n
dest = i + offset
if dest
> n
dest = dest - n
B[dest] = A[i]
return B
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请说明每个元素A[i]出现在B中任何特定位置的概率是1/n。然后通过说明排列结果不是均匀随机排列，表明Armstrong教授错了。
A[i]出现在B中的位置是由offset决定的，而且只要offset决定了，则整个B就决定了；又因为offset=RANDOM(1,n)，所以特定的offset出现的概率相等，都为1/n，所以每个元素A[i]出现在B中任何特定位置的概率是1/n。
因为offset只有n种可能，所以B也只有n种可能，但是A的所有均匀随机排列共有n!种情况，所以还有n!-n种情况没有出现，即排列结果不是均匀随机的。
*5.3-5 证明：在过程PERMUTE-BY-SORTING的数组P中，所有元素都唯一的概率至少是1-1/n。
假设RANDOM(1,n3)产生的n个数为a1,a2,…,an，事件Xi表示a1~ai互不相等，则Xn表示a1~an互不相等，Xn是在X(n-1)的基础上保证an和a1~a(n-1)互不相等，即Xn={an不等于a1,a2,…,a(n-1)之一}∩X(n-1)，于是P(Xn)=P{{an不等于a1,a2,…,a(n-1)之一}∩X(n-1)}，根据条件概率公式得：
5.3-6 请解释如何实现算法PERMUTE-BY-SORTING，以处理两个或更多优先级相同的情形。也就是说，即使有两个或更多优先级相同，你的算法也应该产生一个均匀随机排列
对几个优先级相同的项，再进行一轮随机优先级排序；如果再有相同，再进行一次…思路就是要确保这几个优先级相同的项得到随机的排列。
转自http://beeder.github.io/2014/12/19/random-permutation-algorithms-and-some-solutions-to-clrs-ch5-3/