67剪繩子

題目描述

給你一根長度爲n的繩子，請把繩子剪成整數長的m段（m、n都是整數，n>1並且m>1），每段繩子的長度記爲k[0],k[1],…,k[m]。請問k[0] * k[1] * …* k[m]可能的最大乘積是多少？例如，當繩子的長度是8時，我們把它剪成長度分別爲2、3、3的三段，此時得到的最大乘積是18。

輸入

8

輸出

18

思路分析

1. 揹包型動態規劃

轉換問題爲: 繩子的長度爲N，剪爲長度 L（1<=L<=N）的子段，求每段繩子長度的最大乘積

• 選擇：繩子長度的max乘積
• 狀態：剪 or 不剪
• 轉移方程：dp[i] 表示 繩子長爲 i 的最大乘積，轉移方程 dp[i] = Max(dp[i - L] * i, dp[i])
• 特殊值：dp[2]=2,dp[3]=3，因爲這是唯二dp[x] < x的情況。max( j * dp[i-j], j * (i-j)) 只有2或3兩種情況纔會小於，可以直接設置特殊值跳過運算。

2. 考慮第二步的動規

• 選擇：繩子長度的max乘積
• 狀態：剪 or 不剪
• 轉移方程：剪開位置爲 j，則區間分爲 [0, j) 和 [j, i) 兩部分，第一部分長度爲 j, 第二部分長度爲 i-j。第二部分存在剪和不剪兩種情況，剪的時候值爲 dp[i-k]，不剪的時候取 (i-k)。所以轉移方程：dp[i] = max(dp[i], max( j * dp[i-j], j * (i-j)))

代碼實現

    /**
     * 揹包型動規，需要處理特殊值
     *
     * @param n
     * @return
     */
    public int cuttingRope(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        if (n <= 3) {
            return n - 1;
        }
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        dp[3] = 3;
        for (int i = 4; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
                dp[i] = Math.max(dp[i - j] * j, dp[i]);
            }
        }
        return dp[n];
    }

    /**
     * 把一段繩子分成兩段，第二部分還有剪和不剪兩種狀態
     *
     * @param n
     * @return
     */
    public int cuttingRope1(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        if (n <= 3) {
            return n - 1;
        }
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            for (int j = 2; j <= i - 1; j++) {
                dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(dp[i - j] * j, (i - j) * j));
            }
        }
        return dp[n];
    }