67剪绳子

题目描述

给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成整数长的m段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为k[0],k[1],…,k[m]。请问k[0] * k[1] * …* k[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

输入

8

输出

18

思路分析

1. 揹包型动态规划

转换问题为: 绳子的长度为N，剪为长度 L（1<=L<=N）的子段，求每段绳子长度的最大乘积

• 选择：绳子长度的max乘积
• 状态：剪 or 不剪
• 转移方程：dp[i] 表示 绳子长为 i 的最大乘积，转移方程 dp[i] = Max(dp[i - L] * i, dp[i])
• 特殊值：dp[2]=2,dp[3]=3，因为这是唯二dp[x] < x的情况。max( j * dp[i-j], j * (i-j)) 只有2或3两种情况才会小于，可以直接设置特殊值跳过运算。

2. 考虑第二步的动规

• 选择：绳子长度的max乘积
• 状态：剪 or 不剪
• 转移方程：剪开位置为 j，则区间分为 [0, j) 和 [j, i) 两部分，第一部分长度为 j, 第二部分长度为 i-j。第二部分存在剪和不剪两种情况，剪的时候值为 dp[i-k]，不剪的时候取 (i-k)。所以转移方程：dp[i] = max(dp[i], max( j * dp[i-j], j * (i-j)))

代码实现

    /**
     * 揹包型动规，需要处理特殊值
     *
     * @param n
     * @return
     */
    public int cuttingRope(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        if (n <= 3) {
            return n - 1;
        }
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        dp[3] = 3;
        for (int i = 4; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
                dp[i] = Math.max(dp[i - j] * j, dp[i]);
            }
        }
        return dp[n];
    }

    /**
     * 把一段绳子分成两段，第二部分还有剪和不剪两种状态
     *
     * @param n
     * @return
     */
    public int cuttingRope1(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        if (n <= 3) {
            return n - 1;
        }
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            for (int j = 2; j <= i - 1; j++) {
                dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(dp[i - j] * j, (i - j) * j));
            }
        }
        return dp[n];
    }