時域升採原理推導

       在進行實際的信號處理時，針對不同的帶寬，每個符號對應的時域採樣點數不同，爲了便於在時轉頻時統一DFT點數，從而降低硬件實現的複雜度，因此需要對實際的時域離散採樣數據升採到統一的採樣點數再處理。升採的其中一種方式是對時域採樣點數進行等間隔補零，轉換到頻域爲週期信號。
       原始時域離散序列如下圖所示

       原始序列DFT後頻域序列爲

       時域補零後序列爲

       時域補零序列DFT後頻域序列爲

       下面從數學角度進行簡單的分析。有原始時域離散序列$x\left ( n\right )$，則其DFT變換爲

       對每個時域採樣點後補零M個採樣點，則新序列$\widetilde{x}\left ( m\right )$可表示爲

       $\widetilde{x}\left ( m\right )$的DFT變換爲

       當${k}'\leqslant N-1$時，有

       當$N\leq {k}'< 2N$時，有

       由歐拉公式有

      則有

      從而可知，當$N\leq {k}'< 2N$時，頻域序列與原始信號的頻域序列相同，以此類推，在一個時域離散序列等間隔插0後，轉換到頻域，將變成周期離散序列，在後續的信號處理中，只需要取其中一個週期即可。