組合數學
1.母函數
母函數(生成函數):
生成函數有普通型生成函數和指數型生成函數兩種(本題是普通型)。
形式上，普通型母函數用於解決多重集的組合問題，
指數型母函數用於解決多重集的排列問題。
母函數還可以解決遞歸數列的通項問題（例如使用母函數解決斐波那契數列，Catalan數的通項公式）。
1.普通母函數： /*hdu2082*/
構造母函數G(x), G(x) = a0 + a1*x + a2* + a3* +....+ an*， 則稱G(x)是數列a0,a1…an的母函數。
通常普通母函數用來解多重集的組合問題，其思想就是構造一個函數來解決問題，一般過程如下：
1.建立模型：物品n種,每種數量分別爲k1,k2,..kn個，每種物品又有一個屬性值p1,p2,…pn,(如本題的字母價值)，
求屬性值和爲m的物品組合方法數。（若數量ki無窮 也成立，即對應下面式子中第ki項的指數一直到無窮）
2.構造母函數：G(x)=(1++…)(1+++…)…(1+++…) （一）
=a0 + a1*x + a2* + a3* +....+ akk* (設kk=k1·p1+k2·p2+…kn·pn) （二）
G(x)含義： ak 爲屬性值和爲k的組合方法數。
母函數利用的思想：
1.把組合問題的加法法則和冪級數的乘冪對應起來。
2.把離散數列和冪級數對應起來，把離散數列間的相互結合關係對應成爲冪級數間的運算關係，最後由冪級數形式來
確定離散數列的構造。
代碼實現：
求G(x)時一項一項累乘。先令G=1=(1+0*x+0*+…0*),再令G=G*(1++…)得到形式(二)的式子…最後令G=G*(1+++…)。
2.指數型母函數 /*hdu1521*/
指數型母函數：（用來求解多重集的排列問題）
n個元素，其中a1，a2，····，an互不相同，進行全排列，可得n!個不同的排列。
若其中某一元素ai重複了ni次，全排列出來必有重複元素，其中真正不同的排列數應爲 ，即其重複度爲ni!
同理a1重複了n1次，a2重複了n2次，····，ak重複了nk次，n1+n2+····+nk=n。
對於這樣的n個元素進行全排列，可得不同排列的個數實際上是 /*hdu5651*/
若只對其中的r個元素進行排列呢，那就用到了指數型母函數。
構造母函數G(x)=+則稱G(x)是數列a0,a1…an的指數型母函數。
一般過程：
1.建立模型：物品n種，每種數量分別爲k1,k2,..kn個，求從中選出m個物品的排列方法數。
2.構造母函數：G(x)=(1+ + …+)(1+ ++…)…(1+ ++…)
=a0+a1·x+ · + · +… · （其中pp=k1+k2+k3…kn）
G(x)含義：ai爲選出i個物品的排列方法數。
若題中有限定條件，只要把第i項出現的列在第i項的式中，未出現的不用列入式中。
如:物品i出現的次數爲非0偶數，則原式改爲…*( + + )*…
2.Catalan數
卡特蘭數(Catalan)：前幾項爲 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670…
令h(0)=1,h(1)=1，catalan數滿足遞推式：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)
另類遞推式：
遞推關係的解爲：
遞推關係的另類解爲：
對於在2n位的2進制中，有n個0，其餘爲1,且1的累計數>=0的累計數，二進制數有種
對於在n位的2進制中，有m個0，其餘爲1的catalan數爲：
理解：catalan數的理解
應用：
1.出棧次序： 一個棧(無窮大)的進棧序列爲1，2，3，…，n，有多少個不同的出棧序列? h(n)種。 /*hdu1032*/
2.給定節點組成二叉樹：給定n個節點，能構成多少種不同的二叉樹？ h(n)種。
3.括號化：矩陣連乘，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，有幾種括號化的方案？ h(n-1)種。
4.凸多邊形三角劃分：在一個凸n邊形中，通過若干條互不相交的對角線，有多少種方法把這個多邊形劃分成若干個三角形? h(n-2)種。
3.容斥定理
容斥原理：（容許） 先不考慮重疊的情況，把包含於某條件中的所有對象的數目先計算出來，（排斥）然後再把計數時重複計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重複。
公式： 奇加偶減
一般求互質個數若用歐拉函數不好解決，則從反面考慮，用容斥。