有限域的乘法群一定是循环群

前言：仅个人小记

暂先交代证明的基本思路：

因为是有限域，所以必然是整环，所以必然无零因子，进而度公式必然满足，即 $deg(fg)=deg(f)+deg(g)。

$x^n=1$的不同根最多有 n 个（可以结合度公式采用反证法进行说明），同时$x^{n-1}=1$的不同根最多只有 n-1个。

又因为 n 是群的阶，所以，必然乘法群中 n 个不同的元素都满足 $x^n-1=0$，所以 $x^n=1$ 有 n 个不同的根。

同时，$x^{n-1}=1$有 n-1 个不同的根，进而必然有一个元素不是 $x^{n-1}=1$的根，而又是$x^n=1$的根。

显然这就意味着这个元素是一个阶为 n 的元素，即该元素是一个乘法群的生成元，进而显然该乘法群为循环群。证毕！