有限群元素的阶必然存在

前言：仅个人小记。即证明有限群中的元素必然可以通过自乘达到幺元。

证明

对于有限群 G， $\forall a\in G$，元素 a 的阶都存在。元素自乘序列如下；$a,a^2,a^3,...$
因为 G 是一个群，所以根据封闭性必然有 $a^i \in G$又因为群 G 是有限的，所以必然有$a^i=a^j,i<j$进而$a^i=a^{j-i}a^i$又因为 G 是群，所以群中元素都可逆，进而有$a^i(a^i)^{-1}=a^{j-i}a^i(a^i)^{-1}$进而$e=a^{j-i}$这一结果说明了有限群 G 中的任意元素都可以通过自乘达到幺元 e，进而很容易知道任意元素 a 的阶都是存在的。证毕！