離散數學（第二版） 第一章、第二章習題

第一章命題邏輯的基本概念

習題 1

17 題 判斷論述

判斷下面一段論述是否爲真：“ π是無理數．並且如果3是無理數，則 $\sqrt 2$ 另外 只有 6 能被 2 整除 ，6 才能被 4 整除．”

解答：

• p: π是無理數 1
• q: 3是無理數 0
• r: $\sqrt 2$ 是無理數 1
• s:6能被2整除 1
• t: 6能被4整除0

命題符號化爲：p∧(q→r)∧(t→s)的真值爲1，所以這一段的論述爲真。

21 題 求下列公式的成假賦值

（格式醜字醜，見諒）由於是第一章節習題所以使用真值表進行計算

1. ┐(┐ p∧q)∧┐r
2. (┐ q∨r)∧(p→q)
3. (p→q)∧(┐(p∧r)∨p)
   
   
   

29 題 簡答題

設A,B都是含命題變項p1,p2,…pn的公式,已知A∨B是矛盾式,證明當且僅當A與B都是矛盾式。

第二章

知識儲備

命題公式類型

定義 2.10 設G爲公式:
(1) 如果G在所有解釋下都是真的，則稱G是恆真式(或稱G是重言式，永真式);
(2) 如果G在所有解釋下都是假的，則稱G是恆假式(或稱G是矛盾式，永假式);
(3) 如果G不是恆假的，則稱G是可滿足式。

注意：
(1) 恆真公式的真值表的最後一列全爲1，恆假公式的最後一列全爲0，可滿足公式的最後一列至少有一個1。
(2) 恆真公式一定是可滿足的，可滿足的不一定是恆真的。

習題二

7、15、29、33

知識儲備

定義2.5
所有簡單合取式，都是極小項的析取範式，稱爲主析取範式。
所有簡單析取式，都是極大項的合取範式，稱爲主合取範式。

定理2.3（範式存在定理）
任何命題公式都存在與之等值的析取範式與合取範式。

對主析取範式主合取範式求解不太理解的可以看看下面這個例子

求下列公式的主析取範式，再用主析取範式求主合取範式．

(1) (p∧q)∨r
(2) (p→q)∧(q→r)

(1)
這裏是解答
⇔(p∧q∧(¬r∨r))∨((¬p∨p)∧(¬q∨q)∧r) 補項。
⇔((p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r))∨((¬p∨p)∧(¬q∨q)∧r) 分配律。
⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨((¬p∨p)∧(¬q∨q)∧r) 結合律。
⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨((¬p∧(¬q∨q)∧r)∨(p∧(¬q∨q)∧r)) 分配律。
⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨(¬p∧(¬q∨q)∧r)∨(p∧(¬q∨q)∧r) 結合律。
⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨((¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r))∨(p∧(¬q∨q)∧r) 分配律。
⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧(¬q∨q)∧r) 結合。
⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨((p∧¬q∧r)∨(p∧q∧r)) 分配律。
⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧r) 結合律。
⇔(p∧q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧r) 等冪律。
m1∨m3∨m5∨m6∨m7 主析取式
m0∧m2∧m4主合取式

(2)
這裏是解答
⇔ (¬p∨q)∧(¬q∨r)
⇔ (¬p∨q∨(¬r∧r))∧((¬p∧p)∨¬q∨r) 補項
⇔ ((¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨q∨r))∧((¬p∧p)∨¬q∨r) 分配律
⇔ (¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨q∨r)∧((¬p∧p)∨¬q∨r) 結合律
⇔ (¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨q∨r)∧((¬p∨¬q∨r)∧(p∨¬q∨r)) 分配律
⇔ (¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨q∨r)∧(¬p∨¬q∨r)∧(p∨¬q∨r) 結合律
m1∧m2∧m3∧m5 主合取式
m0∨m4∨m6∨m7 主析取式

用主析取範式判斷下列公式是否等值．

(1) (p→q)→r與q→(p→r)
(2) ┐(p∧q)與┐(p∨q)

因爲任何命題公式的主析取範式都是唯一的，因而A與B等值，當且僅當A與B有相同的主析取範式和主合取範式．
設A= (p→q)→r，B=q→(p→r)
求解 A、B、C、D的主析取範式。
A=(p→q)→r
⇔(p∧┐q)∨r
⇔((P∧┐Q)∧(R∨┐R))∨(R∧(P∨┐P)∧(Q∨┐Q)))
⇔(P∧┐Q∧R)∨(P∧┐Q┐R)∨((R∧P)∨(R∧┐P))∧(Q∨┐Q))
⇔(P∧┐Q∧R)∨(P∧┐Q┐R)∨(R∧P∧Q)∨(R∧P∧┐Q)∨ (R∧┐P∧Q)∨(R∧┐P∧┐Q)
⇔(P∧┐Q∧R)∨(P∧┐Q┐R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧┐Q ∧R)∨ (┐P∧Q ∧R)∨(┐P∧┐Q∧R)(上式整理後)
⇔m1∨m3∨m4∨m5∨m7
B=q→(p→r)
⇔￢q∨￢p∨r
⇔￢p∨￢q∨r
⇔M6
⇔m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7
(1)(p→q)→r與q→(p→r)不等值

簡答題

在某班班委成員的選舉中，已知王小紅、李強、丁金生 位同學被選迸了班委會該班的甲 ．乙，丙三名學生預言如下．
甲說：王小紅爲班長，李強爲生活委員．
乙說：丁金生爲班長，王小紅爲生活委員
丙說：李強爲班長，王小紅爲學習委員．
班委會分工名單公佈後發現，甲 、乙，丙 三人都恰好猜對了一半． 問：王小紅、李強、 金生各任何職（用等值等演求解）？

設命題
a:王小紅爲班長
b:李強爲生活委員
c:丁金生爲班長
d:王小紅爲生活委員
e:李強爲班長
f:王小紅爲學習委員
則
a,b當中有且只有1個爲真, 即a∧b=F，a∨b=T
c,d當中有且只有1個爲真, 即c∧d=F，c∨d=T
e,f當中有且只有1個爲真, 即e∧f=F，e∨f=T
又因爲a,d,f三個命題當中，有且只有1個爲真（王小紅只有1個職務），即
(a∧c∧e)∨(b∧d∧e)∨(b∧c∧f)=T ① （枚舉3種情況，然後析取）
而b,d不可能同時爲真（生活委員只有1個），即b∧d=F
則根據①，化簡得
(a∧c∧e)∨(b∧c∧f)=T ②
而a,c,e三個命題當中，也有且只有1個爲真（班長只有1個），即
a∧c∧e=F，代入②，得到
b∧c∧f=T
從而
b=c=f=T
即
李強爲生活委員，
丁金生爲班長，
王小紅爲學習委員

用消解法判斷下列公式是否是可滿足的．

(1)p∧(┐p∨┐q)∧q
(2)(p∨q)∧(p∨┐q)∧(┐p∨r)

這是百度文庫的答案（因爲這些符號太難打了）