MATLAB有限元二維編程（三角單元）

1. 首先，原理我是參考了這位博主，博主講的很細緻，但是有一些細節沒有詳細的提及，在此把自己在參照該博主的matlab代碼後自己編程的過程紀錄一下，如果有人看博主的文章就已經懂了，那麼我這篇文章可能就對這些遊客多餘了。https://blog.csdn.net/lusongno1/article/details/81125167
2. 博主是自己畫的網格，COMSOL有導出網格的功能，所以我是藉助了COMSOL裏畫了一個簡單的模型然後導出網格再用MATLAB處理的，自我感覺網格的大小可以自定義，所以選擇這個方法。
3. 處理網格，因爲COMSOL導出的網格有自己的格式，且其邊界單元有一個缺點，不會區分給出的節點是那條邊上的，本問題中由於邊界都取０，所以沒什麼影響，但是如果狄式邊界取值爲非零值，則COMSOL不會告訴你哪條邊爲非零值。當然，把邊界都設爲０，作爲有限元二維編程入門足夠了。網格的數據格式如下
4. 進入正題，求解的題目爲：
5. 此時我有必要說明一下，希望大家不會犯我一樣的錯誤，以前我以爲藉助編程求解函數，那麼很多步驟其實自己只要瞭解就好，不用從頭到尾的把函數求解一遍，感覺那樣跟自己手動求解沒什麼兩樣。這種想法有缺陷，編程實際上就是把你整個推導過程寫成程序，如果你連每一步怎麼來的，接下來該怎麼走都不清楚，又何談把它編成程序，所以先把方程整個推導一遍是基礎。在我理解看來，編程也就是在算積分，單元總裝，求解部分有用，其他都是這幾步的鋪墊。
6. 推導過程：

7. %讀入網格
   clear all;
   filename='mm1.txt';
   %%節點座標
   [node_num]=textread(filename,'%n',1);%節點個數
   n_coor=zeros(node_num,2);%節點座標
   m=1;
   [n1,n2]=textread(filename,'%n%n','headerlines',1);
   n_coor(:,1)=n1(1:node_num);
   n_coor_x=n1(1:node_num);
   n_coor_y=n2(1:node_num);
   n_coor(:,2)=n2(1:node_num);
   %%邊界點
   bou_num=n1(node_num+1);
   boundary=zeros(bou_num,2);
   a1=node_num+2;
   a2=a1+bou_num-1;
   boundary(:,1)=n1(a1:a2);
   boundary(:,2)=n2(a1:a2);
   %%單元索引
   ele_num=n1(node_num+2+bou_num);%單元個數
   ele_index=zeros(ele_num,3);%單元索引
   a3=node_num+5+bou_num;
   [ele_index(:,1),ele_index(:,2),ele_index(:,3)]=textread(filename,'%n%n%n','headerlines',a3);
   
   %%計算單個矩陣
   K=sparse(node_num,node_num);
   F=sparse(node_num,1);
   for i=1:ele_num
       ke=caculate1(i,ele_index,n_coor);
       f=caculate2(i,ele_index,n_coor);   
       q1=ele_index(i,1)+1;
       q2=ele_index(i,2)+1;
       q3=ele_index(i,3)+1;
       q=zeros(1,3);
       q(1)=q1;
       q(2)=q2;
       q(3)=q3;
       K(q,q)=K(q,q)+ke;
       F(q,1)=F(q,1)+f;
   end
   %施加邊界條件
   b=zeros(node_num,1);
   u_b=0;
   K(1,1)=1;
   for i=1:bou_num
       w1=boundary(i,1)+1;
       w2=boundary(i,2)+1;
      if(b(w1)==0)
          F(w1,1)=u_b;
          K(w1,:)=0;
          K(:,w1)=0;
          K(w1,w1)=1.0;
          b(w1)=1;
      end
      if(b(w2)==0)
          F(w2,1)=u_b;      
          K(w2,:)=0;
          K(:,w2)=0;
          K(w2,w2)=1;
          b(w2)=1;
      end   
   end
   u=K\F;
   subplot(1,2,1);
   plot3(n_coor_x,n_coor_y,u);
   %scatter3(n_coor(:,1),n_coor(:,2),u);
   L =1;
   nsamp = 1001;
   xsamp = linspace(0,L,nsamp);%100等分區間中間有100個數
   [X,Y] = meshgrid(xsamp,xsamp);
   uexact = sin(pi*X).*sin(pi*Y);
   uexact_re = reshape(uexact,nsamp,nsamp);
   subplot(1,2,2);
   mmm=mesh(xsamp,xsamp,uexact_re);%%%%%
   
   
   function [k] = caculate1(i,ele_index,n_coor)
   %UNTITLED11 此處顯示有關此函數的摘要
   %   此處顯示詳細說明
   a1=ele_index(i,1)+1;
   a2=ele_index(i,2)+1;
   a3=ele_index(i,3)+1;
   x1=n_coor(a1,1);
   y1=n_coor(a1,2);
   x2=n_coor(a2,1);
   y2=n_coor(a2,2);
   x3=n_coor(a3,1);
   y3=n_coor(a3,2);
   A=0.5*((x2*y3-x3*y2)-(y3-y2)*x1+y1*(x3-x2));
   A=abs(A);
   A=1/(2*A);
   J=(x3-x1)*(y2-y3)-(y3-y1)*(x2-x3);
   J1=A*[(y2-y3) (x3-x2);(y3-y1) (x1-x3)];
   
   a11=J.*([1 0]*J1*(J1'*[1;0])).*0.5;
   a12=J.*([0 1]*J1*(J1'*[1;0])).*0.5;
   a13=J.*([-1 -1]*J1*(J1'*[1;0])).*(0.5);
   a22=J.*([0 1]*J1*(J1'*[0;1])).*0.5;
   a23=J.*([-1 -1]*J1*(J1'*[0;1])).*(0.5);
   a33=J.*(([-1 -1]*J1)*(J1'*[-1;-1]))*(0.5);
   k=[a11 a12 a13; a12 a22 a23;a13 a23 a33];
   end
   
   function [f] = caculate2(i,ele_index,n_coor)
   %UNTITLED12 此處顯示有關此函數的摘要
   %   此處顯示詳細說明
   a1=ele_index(i,1)+1;
   a2=ele_index(i,2)+1;
   a3=ele_index(i,3)+1;
   x1=n_coor(a1,1);
   y1=n_coor(a1,2);
   x2=n_coor(a2,1);
   y2=n_coor(a2,2);
   x3=n_coor(a3,1);
   y3=n_coor(a3,2);
   J=(x3-x1)*(y2-y3)-(y3-y1)*(x2-x3);
   f1=@(lam1,lam2) fun(x1*lam1+x2*lam2+x3*(1-lam2-lam1),y1*lam1+y2*lam2+y3*(1-lam2-lam1)).*lam1.*J;
   f2=@(lam1,lam2) fun(x1*lam1+x2*lam2+x3*(1-lam2-lam1),y1*lam1+y2*lam2+y3*(1-lam2-lam1)).*lam2.*J;
   f3=@(lam1,lam2) fun(x1*lam1+x2*lam2+x3*(1-lam2-lam1),y1*lam1+y2*lam2+y3*(1-lam2-lam1)).*(1-lam1-lam2).*J;
   lam=@(lam1) 1-lam1;
   g1=integral2(f1,0,1,0,lam);
   g2=integral2(f2,0,1,0,lam);
   g3=integral2(f3,0,1,0,lam);
   f=zeros(3,1);
   f(1)=g1;
   f(2)=g2;
   f(3)=g3;
   end
   
   function bx = fun(x,y)
   bx = (2*pi^2)*sin(pi*x).*sin(pi*y);
   end
   

    

8. 真解和所求解對比圖
10.