關於Laplace變化以及其他的幾個問題

做控制的人幾乎不可能繞過Laplace trasform(拉普拉斯變換），印象中本科應該是上過這麼課的，但無奈早就不記得了。而且每次現在看到這玩意就感覺很奇妙，主要是有幾個問題：

• S哪裏來的？ 這麼變換有啥用？
• 是對於t>=0函數值不爲零的連續時間函數x(t)通過關係式 (式中-st爲自然對數底e的指數)變換爲復變量s的函數X(s)。它也是時間函數x(t)的“複頻域”表示方式。表達式如：
  $F$(X)=$\int_0^{ \infty}f(t)e^{-st}dt$
  爲何要用$e^{-st}$？這玩意有啥好處，合理性是什麼？
• 爲何傳遞函數中都是拉普拉斯變換的表述？這麼構建的合理性是什麼？

一個個解答：

對第一個問題的回答，其實從定義表達式中就有了S的來源，而在不管$e^{-st}$這個問題的情況下，可以理解爲，拉普拉斯是一個叫拉普拉斯的傢伙自己創造了一個變化函數。從表達式可以看出，是將一個t>0的非零函數連續函數f(t)* $e^{-st}$之後進行求積分的運算。很明顯，這是新函數f(t)* $e^{-st}$在求定積分的過程，而根據高中數學，函數求積分之後還是一個函數。而爲了表明進行了進行了定積分之後的新跟原來的f（t）不再是同種類型的函數（畢竟是由f(t)* $e^{-st}$定積分而來，而非直接f（t）定積分而來），所以自變量不再是t,而是S。那麼這樣變化之後有啥好處呢？明顯的好處就是將微分方程的計算變成了代數方程的計算，要想想如果f（t）是有x對t微分的速度呢？微分方程的計算總是讓人煩惱的，而進行了代數方程轉換之後，那麼就是初中數學，大家都比較開心。而求出結果之後，還是要還回去原來的那個方程f(t),而這個過程就是把F（s）進行微分求解的過程，放這裏就是拉普拉斯逆變換。所以，問題1的答案是S是從引入的$e^{-st}$中來的，爲了區分定積分之後的函數和原來的函數不是同一個，採用拉普拉斯變換的好處就是降低運算的複雜性。

第二個問題：其實由上面的內容可以知道，我們也可以把f(t)* $e^{-st}$換成f(t)* $x^{t}$然後進行定積分的。即：
$F$(X)=$\int_0^{ \infty}f(t)x^{t}dt$

即此時就變成了F(S)就變成了F(X)，但絕對沒有人想這麼幹，因爲原本採用拉普拉斯變化或者將函數就定積分的目的就是爲了簡便運算（通過找到f(t)原函數的方法）而$x^{t}$這種表達式的原函數求起來是夠煩的。那麼是否有一種簡單的函數，最好是求其微分和積分都是自己的，那麼就省事了。而e就是符合這種屬性的函數。所以，就用了e爲底的指數函數。爲此$x^{t}$就變成了$(e^{lnx})^{t}$（$e^{lnx}=x$）。上面那公式變成了：
F(X)=$\int_0^{ \infty}f(t)(e^{lnx})^{t}dt$。
注意，要向有解， 這個函數得要收斂，即得$e^{lnx^t}$要收斂，即要lnx<0,才能獲得下面這個曲線。

這從數學上講得通，但這一大串的東西那麼複雜，誰也不喜歡。爲此，採用初中數學的思想（整體代換），將lnx這一串東西用s代換吧。由於lnx<0，則令 s=-lnx 或-s=lnx吧。爲此便有了：
$F$(s)=$\int_0^{ \infty}f(t)e^{-st}dt$

如果有人問那爲何不直接採用原來的f(t),$F$(X)=$\int_0^{ \infty}f(t)dt$。而要搞那麼多事添加 $e^{-st}$或$x^{t}$，那麼其實我也想問，搞這些這麼複雜幹啥呢?回答這個問題也就是回答採用$e^{-st}$的合理性的問題。因爲任何一個函數在都可以在定義域內的某個點附近通過一個多項式函數來擬合（泰勒展開的原理)。如：
參考：https://blog.csdn.net/Chaolei3/article/details/78918945
所以，基於我們的最終目的是方便求解計算，所以有一個 $e^{-st}$或$x^{t}$是必然的。此外用 $e^{-st}$還跟歐拉方程（$e^{ix} = \cos x + i\sin x$）能扯上關係,這在控制裏也是很重要的，這個後面有空再說。

這就是這麼一步步推過來。 小結下：

-從微分函數不好計算，變考慮將其轉爲定積分函數來算；
-從泰勒展開來看，轉爲定積分需要一個$x^{t}$；
-而$x^{t}$在微積分計算中不好處理，爲此考慮將e^{lnx}取代x；
-並考慮到lnx太醜和函數要收斂的問題，最終用-s=lnx
如此便解決了f(t)在（0，$\infty$）的求解問題轉換成立$F$(s)=$\int_0^{ \infty}f(t)e^{-st}dt$。
引入拉普拉斯變換的一個主要優點，是可採用傳遞函數代替常係數微分方程來描述系統的特性。這就爲採用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統的整個特性、分析控制系統的運動過程，以及提供控制系統調整的可能性。

未完待續