通信原理(7)—— 信源編碼和差錯控制編碼

信源編碼的功能

• 壓縮編碼
• 模數轉換

爲什麼要數字化？

• 數字通信的優越性；現實的模擬量

A/D轉換（數字化編碼）的技術：波形編碼和參量編碼

• 波形編碼：抽樣（時間離散化）、量化（幅度離散化）、編碼（二進制）

一、抽樣定理

抽樣：將取值連續，時間連續的模擬信號變換爲取值連續，時間離散的PAM信號。

PAM：脈衝序列的幅度隨着m(t)變化的一種模擬脈衝調製方式。

1. 低通抽樣定理

• 定理：最高頻率小於f_H的模擬信號可由其等間隔的抽樣值唯一確定，抽樣速率應滿足 f_s ≥ 2f_H（模擬信號最高頻率） 或者 抽樣間隔 T_s ≤ 1 / 2f_H ，否則會發生混疊失真。
• 物理含義：如傳輸m(t)，只需傳輸按照抽樣定理得到的m_s(t)，接收端可以根據m_s(t)無失真的重建m(t)。
  • 重建原信號：低通濾波器、內插公式

2. 帶通抽樣定理

• 低通信號和帶同信號的界定：（B = f_H - f_L爲帶寬， f_L爲最低頻率， f_H 爲最高頻率）
  • 當 f_L < B時，爲低通信號
  • 當 f_L > B時，爲帶通信號
• 帶通抽樣定理：設帶通型模擬信號的頻率限制在（f_L，f_H ）內，且 f_L > B，則最小抽樣速率爲 f_s = 2B（1 + k/n），其中n爲 f_H / B的整數部分，k爲小數部分。

二、模擬脈衝調製（自然抽樣和平頂抽樣）

脈衝幅度調製PAM：脈衝序列的幅度隨着m(t)變化的一種模擬脈衝調製方式。

• 理想抽樣是使用單位衝激響應作爲採樣脈衝，實際上使用的是窄帶矩形脈衝序列。
• 自然抽樣（曲頂抽樣）：樣值脈衝的幅度隨原信號的幅度而變。
  • 直接用低通濾波器進行恢復。
• 平頂抽樣：每個樣值脈衝的頂部是平坦的。
  • 產生：抽樣，保持。
  • 用修正電路 + 低通濾波器進行恢復。

三、抽樣信號的量化

• 量化：用有限個量化電平表示無限個抽樣值。
• 方法：對抽樣信號的幅度進行離散化。

均勻量化：量化間隔相等。設抽樣信號的取值範圍爲[a,b]，量化電平數爲M，則量化間隔v = (b - a) / M。

非均勻量化：量化間隔不相等。信號樣值小，量化間隔v小；信號樣值大，量化間隔v大。

• 實現：先壓縮，再均勻量化，最後再擴張。
• 壓縮：放大 小樣值，減小 大樣值。一般採用對數壓縮。
  • A律：13折線，中國大陸、歐洲、國際間互連
  • u律：15折線，北美、日本、韓國等少數國家地區

四、脈衝編碼調製(PCM)

量化信號（多電平數字信號）→ PCM信號（二進制編碼信號）

需要考慮：碼型的選擇，碼位的選擇和安排、編譯碼器的設計。

五、差錯控制編碼

1. 概述

通信中的情況：各種干擾（加性、乘性）使傳送中的數據流中產生誤碼。

• 針對乘性干擾，採用均衡等措施
• 針對加性干擾
  • 合理選擇調製解調方法，增大發射功率
  • 採用差錯控制，交織等措施

差錯控制編碼：也稱糾錯編碼，屬於信道編碼的範疇。

• 以降低傳輸的有效性爲代價來換取提高傳輸的可靠性。

目的：糾檢傳輸差錯，降低誤碼率，提高通信質量。

信道類型（根據錯碼的不同分佈規律）

• 隨機信道：錯碼是隨機獨立出現的
• 突發信道：錯碼是成串集中出現的
• 混合信道：既有隨機錯碼又有突發錯碼

差錯控制方式：

• 檢錯重發（自動請求重發ARQ）
• 前向糾錯
• 反饋校驗
• 檢錯刪除

2. 分組碼和系統碼

分組碼：將信息碼每k個分爲一組，按一定規則爲每組信息碼附加r個監督碼的編碼稱爲分組碼。

• 分組碼的符號：(n,k)。編碼後每組長度爲n = k+r。

系統碼：編碼後的信息碼元保持不變，監督碼元附加在信息碼元的後面。

3. 碼重和碼距

• 碼重（w）：碼組中 1的個數。

• 碼距（d）：又稱漢明距離，指兩個碼組對應位上數字不同的位數稱爲碼組的距離。

• 最小碼距（d₀）：某種編碼中各個碼組之間距離的最小值。

  • 若是線性碼，d₀等於非全零碼組的最小重量。

• 最小碼距d₀和檢錯糾錯能力的關係

  對於線性分組碼（n，k）

  • 檢e個錯，要求滿足 d₀ ≥ e + 1
  • 糾t個錯，要求滿足 d₀ ≥ 2t + 1
  • 糾t個錯，同時檢e個錯，要求滿足 d₀ ≥ e + t + 1 (e > t)

  一種編碼的糾錯和檢錯能力取決於最小碼距。

4. 簡單的實用編碼

奇偶監督碼

• 編碼規則：加一位監督碼元，將所有碼元模2加得1或者0，在接收端進行計算。

• 糾檢能力：只能檢測奇數個錯碼，也不具有糾錯能力。

• 適用於檢測隨機出現的零星差錯。

• 碼率 r = (n - 1) / n

二維奇偶校驗碼

• 編碼規則：按行按列實施奇偶檢驗
• 糾檢能力：檢錯能力較強，有一定的糾錯能力。

恆比碼（等重碼）

• 編碼規則：每個碼組含有相同數量的1和0，即1的數目和0的數目之比保持恆定。
• 檢測方法：計算接收碼組中1的個數就可知是否有錯。
• 適用於電報傳輸系統或者其他鍵盤設備產生的字母和符號。

正反碼（可糾錯）

• 編碼規則：每個碼組的監督位個數等於信息位數目，監督碼元與信息碼元相同或相反由信息碼中1的個數決定
  • 當信息位有奇數個1時，監督位是信息位的重複；
  • 當信息位有偶數個1時，監督位是信息位的反碼。
• 譯碼方法：
  • 先將接收碼組的信息位和監督位模2加，得到一個合成碼組。
  • 由此合成碼組產生一個校驗碼組：
    • 若接收碼組的信息位有奇數個1，則校驗碼組就是合成碼組；
    • 若接收碼組的信息位有偶數個1，則校驗碼組就是合成碼組的反碼。
  • 觀察校驗碼組中1的個數，可以判決並糾正可能的錯碼。

5. 線性分組碼

• 線性碼：按照一組線性方程構成的代數碼，即每個碼字的監督碼元是信息碼元的線性組合。
  • 代數碼：建立在代數學基礎上的編碼。
• 分組碼：每一碼組的監督碼元僅與本組中的信息碼元有關。
• 線性分組碼：按照一組線性方程構成的分組碼。
  • 例如，奇偶校驗碼就是一種最簡單的線性分組碼。

漢明碼

• 定義：對於（n，k）線性分組碼，若希望用 r = n - k 個監督碼元構造出r個監督關係式來指出一位錯碼的n中可能位置， 則 r 必須滿足 2^r - 1 ≥ n。

  當等號成立時，構造的線性分組碼稱爲漢明碼。——能糾1位錯碼的高效線性分組碼。

• 校驗矩陣H（r行n列），生成矩陣G。

• 校正子譯碼與錯誤圖樣：

  • 由接收到的碼組B計算：S = B · H^T;
  • 由S找出錯誤圖樣E；
  • 由公式A = B + E 得到譯碼器譯出的碼組。

6. 循環碼

• 循環碼是（n，k）線性分組碼的一個重要子類。

  • 編譯碼設備簡單，檢錯糾錯能力強。
  • 由RS、BCH碼等高效子類碼，應用廣泛。

• 循環碼原理

  • 循環性：指任意碼組循環移位（將最右端的一個碼元移至左端，或反之）後仍爲該碼組的一個許用碼組。
  • 循環碼的生成多項式g(x)應當是(xⁿ + 1)一個(n-k)次因子。

• 循環碼編碼

  • 首先根據給定的(n,k)選定生成多項式g(x)；
  • 將m(x)和g(x)相乘就可生成循環碼的全部碼字。

• 循環碼譯碼

• • 檢錯：對接收碼組B(x)/g(x)，若能除盡，則無錯；若除不盡有餘項，則表示有錯誤。

  • 糾錯：由B(x)/g(x)得出的餘式即爲循環碼的校正子多項式S(x)；

    ​ 由S(x)得到錯誤圖樣E(x)，確定錯碼位置；

    ​ 從B(x)中減去E(x)，糾錯完成。

BCH碼——一種獲得廣泛應用的能夠糾正多個錯碼的循環碼

• 重要性
  • 解決了生成多項式與糾錯能力的關係問題，可以給定糾錯能力的要求下尋找到碼的生成多項式。
  • 有了生成多項式，編碼的問題就得到解決了。
• BCH碼分類
  • 本原BCH碼：生成多項式中含有最高次數爲m的本原多項式，且碼長爲n = 2^m - 1 (m ≥ 3，爲正整數)
  • 非本原BCH碼：生成多項式中不含這種本原多項式，且碼長n是 2^m - 1 的一個因子，即碼長n一定可以除盡 2^m - 1。
• BCH碼的性能
• 對於正整數m (m ≥ 3)和正整數t< m/2 必定存在一個碼長爲n = 2^m - 1，監督位n - k ≤ mt，能糾錯所有不多於t 個隨機錯誤的BCH碼。
• 漢明碼是能糾正單個錯誤的碼。可以證明，具有循環性的漢明碼就是能糾正單個錯誤的本原BCH碼。
• BCH碼的設計：在工程設計中，一般不需要用計算方法去尋找生成多項式g(x)。因爲前人已將尋找到的g(x)列成表，故可以用查表法找到所需的生成多項式。

RS碼——一類具有很強糾錯能力的多進制BCH碼

• 在(n,k) RS碼中，輸入信號分成k.q比特一組（每組包括k個多進制符號，每個符號由q比特，即q位二進制碼元組成）。
• 適用於存在突發錯誤的信道，例如通信網絡等衰落信道中。此外，適用於多進制調製的場合。

7. 卷積碼——一種非分組碼

• 特點：小分組（k和n都小）、延時小、多碼段相關
• 適用：串行傳輸、突發差錯、前向糾錯的場合
• 非分組碼：監督碼元不僅和當前的k比特信息段有關，還同前面（N-1）個信息段也有約束關係。即一個碼組中的監督碼元監督着N個信息段。
• 卷積碼的符號：（n,k,N）
  • N 編碼約束度，表示編碼過程中互相約束的碼段個數；
  • nN 編碼約束長度，表示編碼過程中互相約束的碼元個數；
  • N 、nN 反映了卷積碼編碼器的複雜度。
• 卷積碼的碼率：r = k / n
• 卷積碼的表述方法
  • 解析/代數表示
  • 圖解表示：碼樹圖/網格圖/狀態圖
• 卷積碼的譯碼
  • 代數譯碼：利用編碼本身的代數結構進行譯碼，不考慮信道統計特性。
    • 大數邏輯譯碼（門限譯碼），適用於nN較短的卷積碼
  • 概率譯碼（最大似然譯碼）：基於信道的統計特性和卷積碼的特點進行計算。
    • 序貫譯碼：適用於無記憶信道
    • 維特比算法：當碼的nN較短時，效率更高，速度更快

8. Turbo碼——一種特殊的鏈接碼（屬於複合碼類）

• 由於分組碼和卷積碼的複雜度隨碼長或約束度的增大按指數增長，爲了提高糾錯能力，不要單純的增加碼長，將兩種或多種簡單的編碼組合成複合編碼。
• Turbo碼的編碼器在兩個並聯或串聯的分量碼編碼器之間增加一個交織器，使之具有很大的碼長，能在低信噪比下得到接近理想的性能。
• Turbo碼的譯碼器由兩個分量碼譯碼器，譯碼在兩個分量譯碼器之間進行迭代譯碼，故整個譯碼過程類似渦輪（turbo）工作，所以又稱Turbo碼。
• 交織的目的是將突發錯碼分散開，變成隨機錯碼。

9. 低密度奇偶檢驗碼（LDPC碼）

當碼組很長時才具有優良性能，廣泛的應用於移動通信、無線局域網和光纖通信領域。

• LDPC碼是一種線性分組碼，與Turbo碼都屬於複合碼類，兩者的性能相近，且兩者的譯碼延遲都相當長，因此更適用於一些實時性要求不很好的通信。但是LDPC碼比Turbo碼譯碼簡單，更易實現。
• 分類
  • 規則LDPC碼：H矩陣中每列具有相同個數的1；
  • 不規則LDPC碼：H矩陣中每列中1的個數不一定相同。（譯碼性能高於Turbo碼）
• 編碼：構造一個低密度的H矩陣，矩陣中1的個數很少，並且矩陣中任意連着的兩行兩列不能都取1，避免短環。編碼時由H矩陣導出生成矩陣G，算出碼組。
• 譯碼：置信傳播算法（BP）。求最大後驗概率，需要多次迭代運算，逐步逼近最優的譯碼值。

10. 網格編碼調製（Trellis Coded Modulation，TCM）

• 將糾錯編碼和調製相結合
• 同時節省功率和帶寬