通信原理(7)—— 信源编码和差错控制编码

信源编码的功能

• 压缩编码
• 模数转换

为什么要数字化？

• 数字通信的优越性；现实的模拟量

A/D转换（数字化编码）的技术：波形编码和参量编码

• 波形编码：抽样（时间离散化）、量化（幅度离散化）、编码（二进制）

一、抽样定理

抽样：将取值连续，时间连续的模拟信号变换为取值连续，时间离散的PAM信号。

PAM：脉冲序列的幅度随着m(t)变化的一种模拟脉冲调制方式。

1. 低通抽样定理

• 定理：最高频率小于f_H的模拟信号可由其等间隔的抽样值唯一确定，抽样速率应满足 f_s ≥ 2f_H（模拟信号最高频率） 或者 抽样间隔 T_s ≤ 1 / 2f_H ，否则会发生混叠失真。
• 物理含义：如传输m(t)，只需传输按照抽样定理得到的m_s(t)，接收端可以根据m_s(t)无失真的重建m(t)。
  • 重建原信号：低通滤波器、内插公式

2. 带通抽样定理

• 低通信号和带同信号的界定：（B = f_H - f_L为带宽， f_L为最低频率， f_H 为最高频率）
  • 当 f_L < B时，为低通信号
  • 当 f_L > B时，为带通信号
• 带通抽样定理：设带通型模拟信号的频率限制在（f_L，f_H ）内，且 f_L > B，则最小抽样速率为 f_s = 2B（1 + k/n），其中n为 f_H / B的整数部分，k为小数部分。

二、模拟脉冲调制（自然抽样和平顶抽样）

脉冲幅度调制PAM：脉冲序列的幅度随着m(t)变化的一种模拟脉冲调制方式。

• 理想抽样是使用单位冲激响应作为采样脉冲，实际上使用的是窄带矩形脉冲序列。
• 自然抽样（曲顶抽样）：样值脉冲的幅度随原信号的幅度而变。
  • 直接用低通滤波器进行恢复。
• 平顶抽样：每个样值脉冲的顶部是平坦的。
  • 产生：抽样，保持。
  • 用修正电路 + 低通滤波器进行恢复。

三、抽样信号的量化

• 量化：用有限个量化电平表示无限个抽样值。
• 方法：对抽样信号的幅度进行离散化。

均匀量化：量化间隔相等。设抽样信号的取值范围为[a,b]，量化电平数为M，则量化间隔v = (b - a) / M。

非均匀量化：量化间隔不相等。信号样值小，量化间隔v小；信号样值大，量化间隔v大。

• 实现：先压缩，再均匀量化，最后再扩张。
• 压缩：放大 小样值，减小 大样值。一般采用对数压缩。
  • A律：13折线，中国大陆、欧洲、国际间互连
  • u律：15折线，北美、日本、韩国等少数国家地区

四、脉冲编码调制(PCM)

量化信号（多电平数字信号）→ PCM信号（二进制编码信号）

需要考虑：码型的选择，码位的选择和安排、编译码器的设计。

五、差错控制编码

1. 概述

通信中的情况：各种干扰（加性、乘性）使传送中的数据流中产生误码。

• 针对乘性干扰，采用均衡等措施
• 针对加性干扰
  • 合理选择调制解调方法，增大发射功率
  • 采用差错控制，交织等措施

差错控制编码：也称纠错编码，属于信道编码的范畴。

• 以降低传输的有效性为代价来换取提高传输的可靠性。

目的：纠检传输差错，降低误码率，提高通信质量。

信道类型（根据错码的不同分布规律）

• 随机信道：错码是随机独立出现的
• 突发信道：错码是成串集中出现的
• 混合信道：既有随机错码又有突发错码

差错控制方式：

• 检错重发（自动请求重发ARQ）
• 前向纠错
• 反馈校验
• 检错删除

2. 分组码和系统码

分组码：将信息码每k个分为一组，按一定规则为每组信息码附加r个监督码的编码称为分组码。

• 分组码的符号：(n,k)。编码后每组长度为n = k+r。

系统码：编码后的信息码元保持不变，监督码元附加在信息码元的后面。

3. 码重和码距

• 码重（w）：码组中 1的个数。

• 码距（d）：又称汉明距离，指两个码组对应位上数字不同的位数称为码组的距离。

• 最小码距（d₀）：某种编码中各个码组之间距离的最小值。

  • 若是线性码，d₀等于非全零码组的最小重量。

• 最小码距d₀和检错纠错能力的关系

  对于线性分组码（n，k）

  • 检e个错，要求满足 d₀ ≥ e + 1
  • 纠t个错，要求满足 d₀ ≥ 2t + 1
  • 纠t个错，同时检e个错，要求满足 d₀ ≥ e + t + 1 (e > t)

  一种编码的纠错和检错能力取决于最小码距。

4. 简单的实用编码

奇偶监督码

• 编码规则：加一位监督码元，将所有码元模2加得1或者0，在接收端进行计算。

• 纠检能力：只能检测奇数个错码，也不具有纠错能力。

• 适用于检测随机出现的零星差错。

• 码率 r = (n - 1) / n

二维奇偶校验码

• 编码规则：按行按列实施奇偶检验
• 纠检能力：检错能力较强，有一定的纠错能力。

恒比码（等重码）

• 编码规则：每个码组含有相同数量的1和0，即1的数目和0的数目之比保持恒定。
• 检测方法：计算接收码组中1的个数就可知是否有错。
• 适用于电报传输系统或者其他键盘设备产生的字母和符号。

正反码（可纠错）

• 编码规则：每个码组的监督位个数等于信息位数目，监督码元与信息码元相同或相反由信息码中1的个数决定
  • 当信息位有奇数个1时，监督位是信息位的重复；
  • 当信息位有偶数个1时，监督位是信息位的反码。
• 译码方法：
  • 先将接收码组的信息位和监督位模2加，得到一个合成码组。
  • 由此合成码组产生一个校验码组：
    • 若接收码组的信息位有奇数个1，则校验码组就是合成码组；
    • 若接收码组的信息位有偶数个1，则校验码组就是合成码组的反码。
  • 观察校验码组中1的个数，可以判决并纠正可能的错码。

5. 线性分组码

• 线性码：按照一组线性方程构成的代数码，即每个码字的监督码元是信息码元的线性组合。
  • 代数码：建立在代数学基础上的编码。
• 分组码：每一码组的监督码元仅与本组中的信息码元有关。
• 线性分组码：按照一组线性方程构成的分组码。
  • 例如，奇偶校验码就是一种最简单的线性分组码。

汉明码

• 定义：对于（n，k）线性分组码，若希望用 r = n - k 个监督码元构造出r个监督关系式来指出一位错码的n中可能位置， 则 r 必须满足 2^r - 1 ≥ n。

  当等号成立时，构造的线性分组码称为汉明码。——能纠1位错码的高效线性分组码。

• 校验矩阵H（r行n列），生成矩阵G。

• 校正子译码与错误图样：

  • 由接收到的码组B计算：S = B · H^T;
  • 由S找出错误图样E；
  • 由公式A = B + E 得到译码器译出的码组。

6. 循环码

• 循环码是（n，k）线性分组码的一个重要子类。

  • 编译码设备简单，检错纠错能力强。
  • 由RS、BCH码等高效子类码，应用广泛。

• 循环码原理

  • 循环性：指任意码组循环移位（将最右端的一个码元移至左端，或反之）后仍为该码组的一个许用码组。
  • 循环码的生成多项式g(x)应当是(xⁿ + 1)一个(n-k)次因子。

• 循环码编码

  • 首先根据给定的(n,k)选定生成多项式g(x)；
  • 将m(x)和g(x)相乘就可生成循环码的全部码字。

• 循环码译码

• • 检错：对接收码组B(x)/g(x)，若能除尽，则无错；若除不尽有余项，则表示有错误。

  • 纠错：由B(x)/g(x)得出的余式即为循环码的校正子多项式S(x)；

    ​ 由S(x)得到错误图样E(x)，确定错码位置；

    ​ 从B(x)中减去E(x)，纠错完成。

BCH码——一种获得广泛应用的能够纠正多个错码的循环码

• 重要性
  • 解决了生成多项式与纠错能力的关系问题，可以给定纠错能力的要求下寻找到码的生成多项式。
  • 有了生成多项式，编码的问题就得到解决了。
• BCH码分类
  • 本原BCH码：生成多项式中含有最高次数为m的本原多项式，且码长为n = 2^m - 1 (m ≥ 3，为正整数)
  • 非本原BCH码：生成多项式中不含这种本原多项式，且码长n是 2^m - 1 的一个因子，即码长n一定可以除尽 2^m - 1。
• BCH码的性能
• 对于正整数m (m ≥ 3)和正整数t< m/2 必定存在一个码长为n = 2^m - 1，监督位n - k ≤ mt，能纠错所有不多于t 个随机错误的BCH码。
• 汉明码是能纠正单个错误的码。可以证明，具有循环性的汉明码就是能纠正单个错误的本原BCH码。
• BCH码的设计：在工程设计中，一般不需要用计算方法去寻找生成多项式g(x)。因为前人已将寻找到的g(x)列成表，故可以用查表法找到所需的生成多项式。

RS码——一类具有很强纠错能力的多进制BCH码

• 在(n,k) RS码中，输入信号分成k.q比特一组（每组包括k个多进制符号，每个符号由q比特，即q位二进制码元组成）。
• 适用于存在突发错误的信道，例如通信网络等衰落信道中。此外，适用于多进制调制的场合。

7. 卷积码——一种非分组码

• 特点：小分组（k和n都小）、延时小、多码段相关
• 适用：串行传输、突发差错、前向纠错的场合
• 非分组码：监督码元不仅和当前的k比特信息段有关，还同前面（N-1）个信息段也有约束关系。即一个码组中的监督码元监督着N个信息段。
• 卷积码的符号：（n,k,N）
  • N 编码约束度，表示编码过程中互相约束的码段个数；
  • nN 编码约束长度，表示编码过程中互相约束的码元个数；
  • N 、nN 反映了卷积码编码器的复杂度。
• 卷积码的码率：r = k / n
• 卷积码的表述方法
  • 解析/代数表示
  • 图解表示：码树图/网格图/状态图
• 卷积码的译码
  • 代数译码：利用编码本身的代数结构进行译码，不考虑信道统计特性。
    • 大数逻辑译码（门限译码），适用于nN较短的卷积码
  • 概率译码（最大似然译码）：基于信道的统计特性和卷积码的特点进行计算。
    • 序贯译码：适用于无记忆信道
    • 维特比算法：当码的nN较短时，效率更高，速度更快

8. Turbo码——一种特殊的链接码（属于复合码类）

• 由于分组码和卷积码的复杂度随码长或约束度的增大按指数增长，为了提高纠错能力，不要单纯的增加码长，将两种或多种简单的编码组合成复合编码。
• Turbo码的编码器在两个并联或串联的分量码编码器之间增加一个交织器，使之具有很大的码长，能在低信噪比下得到接近理想的性能。
• Turbo码的译码器由两个分量码译码器，译码在两个分量译码器之间进行迭代译码，故整个译码过程类似涡轮（turbo）工作，所以又称Turbo码。
• 交织的目的是将突发错码分散开，变成随机错码。

9. 低密度奇偶检验码（LDPC码）

当码组很长时才具有优良性能，广泛的应用于移动通信、无线局域网和光纤通信领域。

• LDPC码是一种线性分组码，与Turbo码都属于复合码类，两者的性能相近，且两者的译码延迟都相当长，因此更适用于一些实时性要求不很好的通信。但是LDPC码比Turbo码译码简单，更易实现。
• 分类
  • 规则LDPC码：H矩阵中每列具有相同个数的1；
  • 不规则LDPC码：H矩阵中每列中1的个数不一定相同。（译码性能高于Turbo码）
• 编码：构造一个低密度的H矩阵，矩阵中1的个数很少，并且矩阵中任意连着的两行两列不能都取1，避免短环。编码时由H矩阵导出生成矩阵G，算出码组。
• 译码：置信传播算法（BP）。求最大后验概率，需要多次迭代运算，逐步逼近最优的译码值。

10. 网格编码调制（Trellis Coded Modulation，TCM）

• 将纠错编码和调制相结合
• 同时节省功率和带宽