[CF850E]Random Elections

題目

傳送門 to luogu

題意超級難懂，蛋疼

題目概要
有三個人，$\tt LuoLaoBa,XYX,ZXY$ ，不妨稱其爲 $A,B,C$ 。

另有 $2^n$ 個人，第 $i$ 個人有期待順序，記爲 $f_i$ ，滿足 $\{f_i(A),f_i(B),f_i(C)\}=\{1,2,3\}$ 。

還會告訴你一個 $2^n$ 元函數 $g(x_1,x_2,x_3,\dots,x_{k})\in\{0,1\}$ ，其中 $x_i\in\{0,1\},k=2^n$ 。

對於 $A,B$ 之間的 $\tt battle$ ，記 $x_i=[f_i(A)>f_i(B)]$ ，若 $g(x_1,x_2,x_3,\dots,x_k)=1$ 則 $A$ 勝出，否則 $B$ 勝出。

爲了比賽的公正，數據保證 $g(1-x_1,1-x_2,\dots,1-x_k)=1-g(x_1,x_2,\dots,x_k)$ （否則 $A,B$ 與 $B,A$ 的結果不同）。

若 $f_i$ 均是隨機的（即，$\langle f_i(A),f_i(B),f_i(C)\rangle$ 在 $\{1,2,3\}$ 的排列中等概率隨機），求出這個事件發生的概率：$A,B,C$ 兩兩進行 $\tt battle$ 後，至少有一人贏了兩場。

輸出時乘以 $6^n$ ，這樣就一定會輸出一個整數。答案或許很大，最好輸出對 $10^9+7$ 取模的值。

數據範圍與提示
$n\le 20$ 。

思路

首先注意到，$A$ 贏了兩場，$B,C$ 就不可能有贏了兩場的情況。所以直接討論一個人的情況，然後乘 $3$ 就好。

討論 $C$ 對 $A,B$ 的對局情況。不妨設爲 $a,b$ 。根據題意，顯然有

$g(a)g(b)=1$

然後我們繼續討論方案數。隨便討論一個人 $i$ 吧，若 $a_i=1,b_i=0$ ，那麼唯一的可能就是 $f_i(A)>f_i(C)>f_i(B)$ 。反之，若 $a_i=b_i$ 便有兩種情況。所以最後的情況數量就是

$2^{d(a\oplus b)}$

其中 $d$ 表示二進制下 $0$ 的個數。所以答案是

$ans=\sum_{a}\sum_{b}2^{d(a\oplus b)}\cdot g(a)\cdot g(b)$

啊哈，令 $t_x=\sum_{a\oplus b=x}g(a)g(b)$ ，則

$ans=\sum_{x}2^{d(x)}\cdot t_x$

而 $t_x$ 是可以用 $\tt FWT-xor$ 求出來的，所以複雜度就是 $\mathcal O(n\cdot 2^n)$ 的，戰鬥結束。

代碼

洞洞拐，洞洞拐，請自行寫出代碼，請自行寫出代碼，OVER！